- Phƣơng trình Dirac ...3. - Các nghiệm của phƣơng trình Dirac ...6. - Tƣơng tự nhƣ quĩ đạo của cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, các cấu trúc khác nhau đóng góp vào sự phát triển của Trƣờng lƣợng tử mô tả rõ sự tất yếu hoàn thiện các phƣơng trình chuyển động cổ điển. - Biên độ của các tƣơng tác này có thể tính đƣợc bằng lý thuyết nhiễu loạn. - Trong cơ học lƣợng tử phi tương đối tính các hạt đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Schrödinger, còn trong cơ học lƣợng tử tương đối tính các hạt có spin bằng 0 đƣợc mô tả bằng phƣơng trình Klein – Gordon, các hạt có spin 1/2 bởi phƣơng trình Dirac và các hạt có spin 1 bởi phƣơng trình Proca. - Tuy nhiên một khi các qui tắc Feynman đã đƣợc thiết lập thì phƣơng trình trƣờng cơ bản mất dần hiệu lực về căn bản. - Nhƣng với các hạt có spin 1/2, kí hiệu của qui tắc Feynman đã giả định về sự tƣơng tự với phƣơng trình Dirac. - Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrödinger bằng việc bắt đầu với hệ thức năng xung lƣợng cổ điển. - Phƣơng trình Klein – Gordon có thể thu đƣợc bằng chính phƣơng pháp này, bắt đầu với mối liên hệ năng – xung lƣợng tương đối tính. - (Phƣơng trình Klein – Gordon. - Schrödinger rõ ràng đã khám phá ra phƣơng trình này trƣớc cả phƣơng trình phi tƣơng đối tính mang tên ông. - Nguồn gốc của sự khó khăn này là do phƣơng trình Klein – Gordon là phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình bậc nhất theo t). - Vì thế Dirac bắt đầu tìm kiếm một phƣơng trình phù hợp với công thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính bậc nhất theo thời gian. - Nhƣng năm 1934 Pauli và Weisskopf đã chỉ ra rằng ý nghĩa thống kê tự nó đã có vấn đề trong lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính, và hoàn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại đúng vị trí tuyệt vời của nó, trong khi vẫn duy trì phƣơng trình Dirac cho các hạt có spin 1/2.. - Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc nhất. - Phƣơng trình nào trong số hai phƣơng trình này đều đảm bảo rằng p p. - Ta thấy rằng có thể chọn 0 = 1. - Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. - Điều này có thể thực hiện đƣợc, mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4 4. - Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4 4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính cho ra thừa số. - Bây giờ ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac khi tách ra một số hạng (vấn đề không phải là số nào, mà đây là một cách chọn theo qui ƣớc):. - (phƣơng trình 7.5. - Phƣơng trình Dirac). - Bây giờ ta sẽ đi tìm các nghiệm đơn giản của phƣơng trình Dirac. - Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng không( p = 0. - Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành. - Do đó. - Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = 0 thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa. - Ta hi vọng tìm thấy một lƣỡng spin u(p) sao cho (x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p (E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). - Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có. - Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung lƣợng. - Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. - Nếu u thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì (ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (1.20).. - Ta có. - Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có. - Tức là để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E và p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân theo hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính. - Phƣơng trình theo E ở (2.20) cho ta hai nghiệm:. - Quay lại phƣơng trình (2.15) và sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản khi xây dựng bốn nghiệm độc lập của phƣơng trình Dirac (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa). - Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không u B sẽ bất định khi p 0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. - và có thể dễ dàng kiểm tra rằng u (1. - Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac. - Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng dƣới dạng. - Thì tuân theo phƣơng trình với dấu của p ngƣợc lại. - Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac.. - Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc.. - Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc biến đổi đã có:. - Nhƣng ta cũng có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có. - 0 ở ngƣợc phía với 5 nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách lƣu ý rằng nó phản giao hoán với 1. - 2 và 3 (phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với chính nó. - do đó. - Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi mật độ điện tích và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell. - Hệ các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất [(i) và (iv)] bây giờ có thể đƣợc viết gọn lại:. - đây là một phƣơng trình liên tục diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng.. - Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A. - A / t có thể đƣợc viết nhƣ là một gradient của thế vô hƣớng V. - Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành. - Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4) cho. - Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn, nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. - Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự không thích hợp của biểu thức thế năng là ở chỗ V và A không đƣợc xác định một cách đơn nhất. - Thực vậy, từ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng các thế mới. - Ta có thể khai thác sự định cỡ tự do này để buộc các điều kiện bổ sung cho thế:. - Đó chính là điều kiện định cỡ Lorentz, với điều kiện này phƣơng trình Maxwell (7.80) đƣợc đơn giản hóa hơn nữa:. - Các phép biến đổi định cỡ khác có khả năng hơn, nó không làm nhiễu loạn phƣơng trình (4.10) và chỉ ra rằng hàm định cỡ thỏa mãn phƣơng trình sóng:. - nên ta có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết này. - Photon tự do thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J. - ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. - trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng p = (E/c,p):. - Thay biểu thức (7.88) vào phƣơng trình (7.87), ta thu đƣợc điều kiện trên p. - ví dụ, nếu p hƣớng theo trục z thì ta có thể chọn. - Dọc theo phƣơng dịch chuyển chúng chỉ có thể có m s. - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ có thể là + 1 hoặc -1.. - Các spinor u (s) và (s) thỏa mãn các phƣơng trình Dirac trong không gian xung lƣợng. - đƣợc đƣa ra trong các phƣơng trình (2.24) và (4.28). - Tán xạ electron – muon ( e. - Tán xạ electron – electron (e. - Tán xạ electron – positron( e. - Tán xạ Compton. - Hình 2 Tán xạ electron – muon. - Ví dụ 7.1 Tán xạ electron – muon. - Mặc dù xuất hiện sự phức tạp nhƣng với bốn spinor và tám ma trận thì đây vẫn chỉ là một con số, ta có thể tính toán một khi các spin đƣợc xác định rõ.. - Ví dụ 7.2 Tán xạ electron – muon. - Ví dụ 7.3 Tán xạ electron – positron. - Về nguyên tắc, ta có thể tính M( i f. - Số hạng thứ nhất và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát:. - Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái không chứa hàm spinor. - Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi. - Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. - Do đó:. - Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì p 2 <<(mc) 2 , phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford:. - Với các hạt ban đầu đứng yên, các photon đi ra ―lƣng đối lƣng‖ [tƣơng tự nhƣ mặt đối mặt] và ta có thể chọn trục z trùng với tuyến photon, từ đó. - 0, do u(1) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (7.34), vì thế. - (ta cũng có thể thiết lập trực tiếp từ qui tắc 5’) và. - ta có. - Đầu tiên ta có thể tính tổng các tiết diện va chạm cho sự hủy electron-positron. - có thể đƣợc khai triển theo lũy thừa của v/c. - Biểu thức (8.32) và (8.35) là các công thức ta có thể sử dụng để xác định thời gian sống của positron, =1/. - mặt khác, từ phƣơng trình (4.22) và do đó. - Hình 11 Đồ thị của f(x) (phƣơng trình 9.3) Đƣờng liên tục là kết quả tính số. - (phƣơng trình (9.7) hợp lý với bậc g e 4 , do đó cũng không có vấn đề gì khi ta sử dụng g e hoặc g R trong dấu ngoặc nhọn). - Ta cũng có thể thu đƣợc nó vào hằng số cặp, nhƣng ―hằng số‖. - Tuy nhiên, có thể nhận thấy số hạng thứ hai ở (9.11) có đóng góp vào độ lệch Lamb. - Chúng là ―những sơ đồ thang‖: