Tiểu luận: Khảo sát dao động điều hòa bằng lí thuyết cơ lượng tử

- Dao động điều hòa là một dạng chuyển động rất quan trọng trong vật lý nói chung và vật lý chất rắn nói riêng.
- Đó là dao động của các ion hoặc nguyên tử quanh vị trí cân bằng trong mạng tinh thể , dao động của các nguyên tử trong phân tử ,...Bài toán dao động điều hòa lượng tử được ứng dụng nhiều trong vật lý lí thuyết như lí thuyết bức xạ cân bằng , lí thuyết phổ , lý thuyết nhiệt dung của vật rắn.
- Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm phong phú hơn nữa các tài liệu môn cơ học lượng tử để các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham khảo đó là lí do để em chọn đề tài “DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”.
- Trong đề tài này , chúng ta sẽ nghiên cứu về chuyển động của hạt dưới thế năng dao động điều hòa.
- Phương trình vi phân tổng quát cho thế năng dao động điều hòa có thể được giải bằng cách dùng một phương pháp thường xuyên được sử dụng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử.Nhiều vấn đề trong vật lí có thể coi là một giao động tử điều hòa với một số điều kiện thích hợp.Ví dụ trong cơ học cổ điển việc mở rộng thế năng quanh một điểm cân bằng , chúng ta có thế năng điều hòa.
- Dạng Hamiltonian cho dao động tử điều hòa 1 chiều là.
- Với k  m  2 , các biến m và  tương ứng với khối lượng và tần số góc của dao động tử.
- Ta có : 1.
- Trị riêng của dao động tử đó là các năng lượng riêng.
- (5.7) Phương trình này có thể đơn giản thành.
- (5.12) 1.3 Dao động tử hai chiều và ba chiều .
- Trong trường hợp này Hamiltonian có thể được tách thành x và y,do vậy vấn đề được đưa về 2 dao động tử một chiều ,một vào x và một vào y.
- x i là hàm riêng của dao động tử một chiều.Trị riêng tương ứng với .
- (5.15) 1.4 Phương pháp toán tử cho một dao động tử điều hòa .
- Những toán tử này là công cụ rất hữu ích cho việc biểu diễn hàm riêng của dao động tử điều hòa .
- Chú ý rằng toán tử Hamiltonian của dao động điều hòa được viết là: .
- (5.18) Ta kí hiệu trạng thái thứ n của dao động tử điều hòa  n.
- Bây giờ chúng ta có thể minh giải cho toán tử nâng toán tử hạ cho a và.
- Vì vậy ta có thể xây dựng trạng thái n như sau.
- Một dao động tử điều hòa được đặc trưng bởi thế năng.
- m ,với m là khối lượng của dao động tử .
- b) Từ câu a) tìm các giá trị năng lượng riêng của dao động tử .
- Tìm giá trị năng lượng thấp nhất ? Giải thích.
- Do đó, ta có.
- Do vậy ta có thể giả sử.
- Do vậy, ta có: .
- Đối với n bất kỳ ta có.
- (5.1.20) Vì vậy , ta nhận được điều kiện lượng tử hóa cho các giá trị năng lượng riêng .
- Nếu không có một nguồn năng lượng , hệ đạt trị riêng năng lượng cực tiểu 0.
- (5.1.21) Đây là trị riêng của năng lượng cực tiểu .
- Một hạt có năng lượng .
- chuyển động động dưới trường thế của dao động tử điều hòa .Tính xác suất tìm hạt trong miền cấm cổ điển ? So sánh kết quả với xác suất tìm hạt ở bậc có năng lượng cao hơn? .
- Đối với dao động tử điều hòa cổ điển : x  A n cos  t , p.
- mA n  sin  t (5.2.1) Do vậy năng lượng là.
- Xét trạng thái cơ bản ta có.
- ta có được.
- Ta có A 0 1.
- Giải ra ta có P .
- Ta có P Do đó tìm được .
- Ta có P P P .
- Ta chú ý rằng giá trị của P n nhỏ hơn các mức năng lượng cao hơn .
- Điều này được giải thích là do hạt năng lượng cao là “cổ điển” hơn hạt ở năng lượng thấp .
- Do vậy xác suất tìm hạt ở năng lượng cao trong miền cấm cổ điển sẽ thấp hơn.
- Tính năng lượng cơ bản của dao động tử điều hòa.
- Toán tử Halminton của giao động tử.
- Trị trung bình của năng lượng.
- (5.3.2) Ta có thể viết.
- Đối với dao động tử điều hòa p  x  0 .
- Ta có thể chứng minh như sau: .
- ta có.
- (5.3.7) Vậy ta có.
- Cuối cùng năng lượng cực tiểu của E là: .
- Và giải ra ta có : 0 x 2.
- Tìm hàm riêng của dao động tử đẳng hướng 2 chiều ? Tìm sự suy biến của các mức năng lượng.
- (5.4.2) Do vậy , hàm sóng có thể được viết dưới dạng tích của 2 hàm  x.
- Do vậy ta có H.
- Nên ta có.
- Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trường thế điều hòa một chiều .
- (5.5.2) Ta có thể viết.
- cũng có thể tách thành: .
- x là hàm số riêng của dao động tử điều hòa 1 chiều .
- ta có .
- (5.6.10) b) Biết rằng tại t=0 ta có.
- (5.6.16) Ta có H 0 x.
- Xét dao động điều hòa 1 chiều với Hamiltonian.
- riêng của dao động ứng với trạng thái năng lượng thứ n ? Bài làm .
- b) Dùng kết quả thu được ở phần a) ta có thể viết .
- (5.7.7) Vậy thế vào công thức (5.7.1) ta có.
- n  1 / 2 n Do đó sử dụng phương trình trị riêng của năng lượng .
- Ta có thể viết † 1.
- ở trạng thái n .
- Tính những phần tử ma trận của những toán tử x và p cho dao động tử điều hòa một chiều.
- x là những hàm riêng của giao động tử điều hòa .
- Từ đó ta có thể tính.
- Vì vậy ta có .
- Với cùng cách này ta có thể tính.
- (5.8.8) Bây giờ ta sử dụng (5.8.5) ta có .
- Ta có thể biểu diễn n x k và n p k trong một dạng ma trận như là.
- Khảo sát 1 hạt có điên tích +e chuyển động trong một trường thế giao động điều hòa đẳng hướng 3 chiều.
- V r  2 m  r (5.9.1) Trong điện trường E= E x 0 2 .Tìm các trạng thái riêng và năng lượng riêng của hạt ? Bài làm .
- Chú ý rằng H x và H y là giống nhau đối với toán tử Hamilton của dao động tử điều hoà một chiều như vậy ta có thể viết hàm sóng là.
- z là hàm sóng của dao động tử điều hòa một chiều .
- Ta có được phương trình khác cho giao động tử điều hòa 1 chiều với n 0.
- Vậy giá trị năng lượng riêng là.
- z (5.9.12) Và giá trị năng lượng riêng là.
- Xét một dao động điều hòa một chiều ở mức năng lượng thứ n.Tính các trị trung bình x 2 , x , p 2 , p .Bạn có thể nói gì về hệ thức bất định.
- Tìm năng lượng gần đúng tại trạng thái cơ bản của ion đơn như là một tinh thể .
- Ta có thể xem ion gần cực tiểu của V (r) có thể xem như một dao động điều hòa Ta ước tính thế năng gần đúng V (r) gần những cực tiểu của 1 đa thức dạng.
- Bây giờ ta có thể ước tính tính chất của một ion trong tinh thể dựa vào tính chất của dao động điều hòa .Trạng thái cơ bản của dao động điều hòa với thế năng dưới đây .
- Tìm những năng lượng riêng và hàm số riêng của mọt hạt chuyển động dưới thế năng .
- (12.1.3) Nghiệm của phương trình này là: .
- Lấy đạo hàm bậc hai của  theo  rồi thay vào (12.1.2) ta thu được phương trình: .
- (12.1.4) Ta tìm nghiệm của (12.1.4) dưới dạng chuỗi: .
- Như vậy, ta thu được biểu thức của năng lượng: .
- Có thể thấy đây là bài toán dao động tử điều hòa không đối xứng trong đó hạt chỉ chuyển động trong miền x >0 .Như vậy nghiệm của phương trình schrogdinger cho bài toán là những nghiệm triệt tiêu ở x=0.Theo đồ thị a hình 5.12,thì các hàm sóng có n lẽ mới thỏa mãn điều kiện này .Như vậy bài toán dao động tử điều hòa không đối xứng cho các nghiệm có dạng  2 n  1.
- Vì vậy , năng lượng của bài toán không đối xứng cho các giá trị năng lượng lẻ ,nghĩa là: .
- Qua bài tiểu luận này, em có thể tiếp cận với việc tham khảo nhiều tài liệu khác nhau đặc biệt là tài liệu nước ngoài mang tính chuyên sâu của môn CƠ LƯỢNG TỬ, từ đó tìm hiểu sâu hơn về lí thuyết của phần DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA và cách giải các bài toán liên quan.
- Nó giúp em hiểu được và nắm rõ về việc giải những bài tập và lí thuyết có liên quan, mặt khác qua đó nắm vững một cách tổng quát các dạng toán của DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA .
- 1.3 Dao động tử hai chiều và ba chiều.
- 1.4 Phương pháp toán tử cho một dao động tử điều hòa