- TÍNH NỬA LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR VÀ CÁC TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTOR. - Nửa liên tục trên/dưới theo nón thứ tự, bài toán cân bằng, tính ổn định, sự đặt chỉnh theo các nhiễu, sự đặt chỉnh duy nhất theo các nhiễu. - Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của các hàm vector nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nón thứ tự. - Sử dụng các hàm nửa liên tục suy rộng này cùng với một số giả thiết liên quan đến tính liên tục, chúng tôi đã nghiên cứu các tính chất của nghiệm bài toán cân bằng vector mạnh và cân bằng vector yếu trong không gian định chuẩn. - Các tính chất được khảo sát ở đây bao gồm: tính compact của các tập nghiệm, tính nửa liên tục trên của các ánh xạ nghiệm và các dạng đặt chỉnh của các bài toán được xem xét.. - Tính nửa liên tục của hàm vector và các tính chất nghiệm của bài toán cân bằng vector. - Khái niệm liên tục, bao gồm tính liên tục, liên tục đều, liên tục Lipschitz, liên tục Hölder, của hàm số là một trong các khái niệm đặc biệt quan trọng của toán học. - Tính liên tục là công cụ chính yếu trong việc nghiên cứu các chủ đề quan trọng của các lớp bài toán, như sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, sự đặt chỉnh và thuật toán tìm nghiệm,… Trong toán học nói chung và trong tối ưu hoá nói riêng, việc mở rộng từ trường hợp bài toán vô hướng sang trường hợp bài toán vector là yêu cầu cần thiết, nhằm đáp ứng được các tình huống đặt ra trong thực tế. - cứu các lớp bài toán mở rộng này, các khái niệm của hàm vô hướng của dữ liệu bài toán, cũng được mở rộng tương ứng sang trường hợp hàm có giá trị vector, hàm đa trị,… Khi khảo sát các bài toán thực tế, các dữ liệu thường không thoả mãn các điều kiện liên tục, và do đó việc giảm nhẹ khái niệm liên tục là cần thiết. - Từ ý tưởng đó, các khái niệm về tính liên tục suy rộng cho hàm vector cũng được rất nhiều người quan tâm đề xuất. - chưa có bài báo nào khảo sát một cách tương đối đầy đủ các tính chất của hàm vector nửa liên tục được thác triển từ lớp hàm số thực nửa liên tục như trên.. - Quoc et al., 2008), thì sự đặt chỉnh của lớp bài toán cân bằng cũng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. - Nghĩa thứ nhất đã được Hadamard giới thiệu vào năm 1902 (xem Hadamard, 1902), đó là sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu của nghiệm bài toán tối ưu. - Năm 1966, Tikhonov đã đề xuất khái niệm đặt chỉnh cho bài toán tối ưu không có ràng buộc, mà ngày nay được gọi là đặt chỉnh Tikhonov. - Bài toán được gọi là đặt chỉnh Tikhonov nếu nó có nghiệm duy nhất và mọi dãy nghiệm xấp xỉ đều hội tụ về nghiệm duy nhất của bài toán (xem Tikhonov, 1966). - Từ hai dạng cơ bản của sự đặt chỉnh, cho đến nay đã được phát triển và mở rộng rất nhiều, nhằm đáp ứng ngày càng tốt hơn khi khảo sát các bài toán thực tế trong cuộc sống (xem Anh et al . - Từ những sự quan sát ở trên, trong bài báo này chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu các tính chất của hàm vector nửa liên tục trong không gian được sắp thứ tự theo nón. - Đề xuất khái niệm mới về sự đặt chỉnh cho lớp bài toán cân bằng vector. - Sử dụng tính chất của hàm vector nửa liên tục suy rộng để nghiên cứu tính compact của tập nghiệm, tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm và sự đặt chỉnh của lớp bài toán cân bằng trong không gian được sắp thứ tự theo nón.. - Cấu trúc của bài báo được trình bày như Mục 2 trình bày mô hình các bài toán cân bằng vector, giới thiệu khái niệm đặt chỉnh và nhắc lại các khái niệm và tính chất cần thiết được dùng trong phần tiếp theo. - Mục 3 giới thiệu khái niệm hàm vector nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trong không gian được sắp thứ tự theo nón và nghiên cứu các tính chất của chúng. - Các kết quả về điều kiện cần và đủ cho tính compact của các tập nghiệm, tính ổn định và sự đặt chỉnh của bài toán cân bằng được trình bày trong Mục 4. - được gọi là tập lồi, nếu với mỗi. - được gọi là nón nếu với mỗi ∈ và ∈ 0. - nếu với mỗi lân cận của , luôn tồn tại lân cận của sao cho. - nếu với mỗi lân cận với. - được gọi là liên tục tại nếu nó vừa nửa liên tục trên và vừa nửa liên tục dưới tại. - (i) là usc tại , nếu với mỗi lân cận của , với mỗi dãy trong hội tụ đến , luôn tồn tại số tự nhiên sao cho, với mỗi. - luôn tồn tại. - (a) được gọi là nửa liên tục trên Hausdorff (H-usc) tại , nếu với mỗi lân cận của gốc trong , luôn tồn tại lân cận của sao cho,. - với mỗi. - (b) được gọi là nửa liên tục dưới Hausdorff (H-lsc) tại , nếu với mỗi lân cận của gốc trong , luôn tồn tại lân cận của sao cho,. - được gọi là liên tục Hausdorff tại , nếu nó vừa H-usc và vừa H-lsc tại. - Với mỗi ∈ Λ, ta xét các bài toán cân bằng vector yếu và mạnh tương ứng sau:. - Để đơn giản, thay vì ký hiệu họ các bài toán trên bởi WEP. - Với mỗi ∈ Λ, các tập nghiệm của các bài toán WEP và SEP lần lượt được ký hiệu bởi và , tức là. - được gọi là một dãy xấp xỉ của bài toán WEP (hay SEP ) tương ứng với dãy , nếu tồn tại dãy số thực dương hội tụ về 0 sao cho, với mỗi và với mỗi. - Bài toán (WEP) (hay, (SEP)) được gọi là đặt chỉnh theo các nhiễu (hay ngắn gọn, đặt chỉnh), nếu với mỗi ∈ Λ,. - (b) với mỗi dãy ⊂ Λ hội tụ đến , với mỗi dãy xấp xỉ của bài toán WEP (hay, SEP ) tương ứng với dãy , luôn tồn tại dãy con hội tụ đến một phần tử của tập nghiệm (tương ứng,. - Bài toán (WEP) (hay (SEP)) được gọi là đặt chỉnh duy nhất theo các nhiễu (hay ngắn gọn, đặt chỉnh duy nhất), nếu với mỗi ∈ Λ, (a) bài toán WEP (tương ứng, SEP ) có nghiệm duy nhất;. - (b) với mỗi dãy ⊂ Λ hội tụ đến , với mỗi dãy xấp xỉ của bài toán WEP (hay, SEP ) tương ứng với dãy , luôn hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán WEP (tương ứng, SEP. - Với mỗi ∈ Λ, 0, ta ký hiệu các tập - nghiệm của các bài toán WEP và SEP lần lượt bởi , và. - 3 TÍNH NỬA LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR. - Trong mục này chúng tôi xét lớp các hàm vector nửa liên tục theo nón và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các lớp hàm này.. - (a) được gọi là nửa liên tục trên tại. - (b) được gọi là nửa liên tục dưới tại. - nếu – nửa liên tục trên tại , hay một cách tương đương, với mọi dãy hội tụ đến , ta luôn có. - Từ định nghĩa ta thấy rằng, liên tục tại , tức. - nếu và chỉ nếu là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại. - Khi đó, (i) nửa liên tục trên trong , nếu và chỉ nếu. - (ii) nửa liên tục dưới trong , nếu và chỉ nếu. - Lấy ý tưởng từ khái niệm nửa liên tục cho hàm số thực, ta xây dựng các khái niệm nửa liên tục của hàm vector trong không gian được sắp thứ tự theo nón như sau.. - nếu với mỗi lân cận của gốc trong , luôn tồn tại một lân cận của , sao cho với mỗi. - nếu – là -nửa liên tục trên tại , hay một cách tương đương, với mỗi lân cận của gốc trong , luôn tồn tại một lân cận của , sao cho với mỗi. - được gọi là -liên tục tại nếu vừa là -usc và vừa -lsc tại. - (i) là -nửa liên tục trên trong. - (ii) Với mỗi ∈ và. - (iii) Với mỗi ∈ và. - Giả sử với mỗi. - Với mỗi ∈ và. - Đối với tính nửa liên tục dưới ta cũng có kết quả tương tự sau đây.. - (i) là -nửa liên tục dưới trong. - thì các khái niệm - nửa liên tục trên và -nửa liên tục dưới, tương ứng trở thành các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa thông thường của hàm số thực (trong Định nghĩa 3.1).. - Kết quả sau đây cho phép ta có thể thực hiện các phép tính cơ bản trên các lớp hàm vector nửa liên tục trong không gian được sắp thứ tự theo nón.. - và là các hàm -nửa liên tục trên trong thì, (i) là -nửa liên tục trên trong. - (ii) với mỗi số thực ∈ 0. - là -nửa liên tục trên trong. - (i) Với mỗi ∈ và ∈ int . - Vì , là các hàm nửa liên tục trên, nên tồn tại các lân cận. - Với các lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.3, ta thu được kết quả sau đây đối với lớp hàm vector nửa liên tục dưới.. - Khi đó nếu và là các hàm -nửa liên tục dưới trong thì,. - (i) là -nửa liên tục dưới trong . - (ii) Với mỗi số thực ∈ 0. - là -nửa liên tục dưới trong. - Vì điều kiện tồn tại nghiệm cho lớp các bài toán cân bằng đã được nghiên cứu sâu rộng (xem Ansari et al., 2001. - Fu and Wan, 2002, và các tài liệu tham khảo trong đó), nên trong mục này ta chỉ tập trung nghiên cứu các điều kiện cho các tính chất nghiệm, bao gồm các tính chất compact của các tập nghiệm, tính nửa liên tục và các dạng đặt chỉnh của các bài toán (WEP) và (SEP) và luôn giả sử rằng các bài toán là có nghiệm trong lân cận của các điểm đang xét.. - (i) Nếu là tập con compact, thì nửa liên tục trên tại nếu và chỉ nếu với mỗi dãy hội tụ đến , và với mỗi dãy. - Giả sử, compact, liên tục có giá trị compact và là -nửa liên tục trên. - Khi đó, các ánh xạ nghiệm và là nửa liên tục trên và có giá trị compact trong 0. - Với mỗi ∈ Λ, Định lý 4.1 suy ra tính compact của . - Ta chứng minh tính nửa liên tục trên của bằng phương pháp phản chứng. - Vì là -usc, nên tồn tại lân cận của và số tự nhiên sao cho, với mỗi ∈ và. - Bây giờ chúng ta đưa ra mối quan hệ quan trọng giữa sự đặt chỉnh và tính ổn định của các bài toán (WEP) và (SEP).. - Bài toán (WEP) và (SEP) đặt chỉnh nếu và chỉ nếu với mỗi. - ánh xạ và tương ứng là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại , 0. - Ta trình bày chi tiết của chứng minh cho trường bài toán (SEP), bằng việc sử dụng kỹ thuật tương tự với một số thay đổi thích hợp ta sẽ thu được kết luận cho trường hợp còn lại. - Giả sử, với mỗi ∈ Λ, S tương ứng là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại λ, 0 . - Lấy dãy ⊂ Λ là một dãy tuỳ ý và là dãy xấp xỉ của bài toán SEP tương ứng với . - 0 sao cho, với mỗi. - Vì S là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại λ, 0 , nên theo Bổ đề 4.1, ta suy ra tồn tại dãy con của và. - Vì vậy, bài toán (SEP) là đặt chỉnh.. - Khi đó, với mỗi. - Vì bài toán (SEP) đặt chỉnh nên tồn tại. - Áp dụng Bổ đề 4.1, ta suy ra là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại , 0. - Khi đó, các bài toán (WEP) và (SEP) là đặt chỉnh.. - Giả sử, với mỗi. - Khi đó, các bài toán (WEP) và (SEP) là đặt chỉnh duy nhất nếu và chỉ nếu và tương ứng là nửa liên tục trên và có giá trị compact tại , 0. - Giả sử, compact, liên tục có giá trị compact và là -nửa liên tục trên và giả sử thêm rằng với mỗi. - Khi đó, các bài toán (WEP) và (SEP) là đặt chỉnh duy nhất.. - Trong bài báo này chúng ta đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất của lớp các hàm vector nửa liên tục trong không gian được sắp thứ tự theo nón và áp dụng các tính chất thu được vào việc thiết lập các điều kiện đủ cho các dạng đặt chỉnh của các bài toán cân bằng vector trong không gian định chuẩn. - Bằng việc điều chỉnh hàm mục tiêu một cách thích hợp, các kết quả chính trong bài báo sẽ suy ra các kết quả tương ứng cho các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng như đã đề cập đến ở phần mở đầu. - Hướng tiếp cận của lớp hàm vector nửa liên tục có thể cho ta nhiều gợi ý cho việc xây dựng lớp hàm vector tựa liên tục trong không gian vector được sắp thứ tự theo nón, và ứng dụng để khảo sát các tính chất nghiệm của các bài toán vector liên quan đến tối ưu.