- TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG. - Bài toán cân bằng hai mức, tính đóng theo mức, tính nửa liên tục, tính lồi tổng quát. - Bài báo nghiên cứu các bài toán cân bằng với các ràng buộc cân bằng trong không gian véc tơ tô pô Hausdorff được sắp thứ tự theo nón. - Bằng cách sử dụng các tính nửa liên tục giảm nhẹ và các tính lồi suy rộng của hàm giá trị véc tơ, các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của ánh xạ. - nghiệm các bài toán đang xét được thiết lập, và đồng thời các phản thí dụ để minh hoạ cho tính thiết yếu của các điều kiện này cũng được đưa ra.. - Cách tiếp cận và kết quả đạt được trong bài báo này là mới, ngay cả cho trường hợp bài toán vô hướng.. - Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng. - Bài toán cân bằng véc tơ là một mô hình hợp nhất của rất nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá, như bài toán tối ưu véc tơ, bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù… (Giannessi, 2000). - trọng của bài toán này mà trong hơn hai thập kỷ qua, lớp bài toán này đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới. - Cho đến nay, chủ đề về điều kiện tồn tại nghiệm cho lớp các bài toán này đã có nhiều kết quả hoàn chỉnh và đa dạng trong cách tiếp cận (Ansari, 2008. - ổn định nghiệm của bài toán cân bằng, đây là một chủ đề được quan tâm trong những năm gần đây và có tốc độ phát triển rất nhanh. - Từ các công trình đã công bố về tính ổn định nghiệm của bài toán cân bằng, cho thấy rằng có hai hướng tiếp cận chính cho chủ đề này, đó là tính ổn định định tính, như các dạng nửa liên tục/ liên tục theo nghĩa của Berge hoặc Hausdorff, sự đặt chỉnh (Lignola and Morgan, 2006;. - Lâm Quốc Anh et al., 2012), và tính ổn định định lượng như tính liên tục Lipschitz/Hölder (Lâm Quốc Anh và Phan Quốc Khánh, 2009. - Xuất phát từ việc đáp ứng các tình huống thực tế trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, y học, xã hội,… mô hình bài toán cân bằng hai mức đã được đề xuất và nghiên cứu trong thời gian gần đây. - Mordukhovich (2009), bằng cách sử dụng các công cụ của đối đạo hàm, các tác giả đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc cân bằng. - Về sự đặt chỉnh cho các bài toán liên quan đến tối ưu với ràng buộc cân bằng như bài toán cân bằng Nash hai mức, bài toán tối ưu hóa với các ràng buộc bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng đã đạt được nhiều kết quả thú vị trong các bài báo Lignola and Morgan (2006). - Cho đến nay, chưa tìm thấy công trình nào dành cho việc khảo sát tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm các bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số, với các tham số nhiễu được cho trong các không gian tham số.. - Từ những quan sát trên, trong bài báo này, chúng tôi đưa ra mục tiêu khảo sát các bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng có dữ liệu được nhiễu bởi các tham số. - Bằng việc xem xét các tập nghiệm của các bài toán này như là các ánh xạ (đa trị) được cho trong các không gian chứa tham số, bài báo này khảo sát các điều kiện ổn định định tính theo nghĩa nửa liên tục và tính đóng đối với ánh xạ nghiệm các bài toán đã được đề cập. - Từ việc sử dụng các công cụ hữu hiệu của giải tích đa trị và giải tích lồi, bao gồm các điều kiện liên tục giảm nhẹ và tính lồi suy rộng, các kết quả đạt được là mới và đáp ứng mục tiêu đã được đề xuất.. - Cho 𝐴 ⊂ 𝑋 là một tập con compact lồi khác rỗng, 𝛬 ⊂ 𝑊 là tập con khác rỗng, 𝐶 ⊂ 𝑌 và 𝐷 ⊂ 𝑍 là các nón lồi, rắn và có đỉnh và 𝑓: 𝐴 × 𝐴 × 𝛬 → 𝑌, 𝑔: 𝐴 × 𝐴 × 𝛬 → 𝑍 là các ánh xạ.. - Với mỗi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, chúng ta nói. - Với mỗi 𝜆 ∈ Λ, chúng ta xét bài toán cân bằng véc tơ với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số sau đây:. - 𝑆 1 (𝜆) sao cho với mọi 𝑦 ∈ 𝑆 1 (𝜆), chúng ta luôn có 𝑔(𝑥̅, 𝑦, 𝜆. - Với mỗi 𝜆 ∈ Λ, chúng ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (EPEC) là 𝑆 2 (𝜆), tức là:. - Định nghĩa 2.1 (Aubin and Frankowska, 1990, Định nghĩa trang 38) Cho ánh xạ đa trị 𝑄: 𝑋 ⇉ 𝑌. - (a)𝑄 là nửa liên tục trên tại 𝑥 0 nếu với một lân cận bất kỳ 𝑈 của 𝑄(𝑥 0 ) thì tồn tại lân cận 𝑁 của 𝑥 0 thỏa 𝑄(𝑁. - (b)𝑄 là nửa liên tục dưới tại 𝑥 0 nếu mọi lưới {𝑥 𝛼 } hội tụ về 𝑥 0 và mọi 𝑦 0 ∈ 𝑄(𝑥 0 ) thì tồn tại lưới {𝑦 𝛼. - (c)𝑄 là liên tục tại 𝑥 0 nếu 𝑄 nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại 𝑥 0. - Bổ đề 2.1 (Hu and Papageorgiou, 1997, Mệnh đề 2.6, trang 37) Cho ánh xạ đa trị 𝑄: 𝑋 ⇉ 𝑌. - Khi đó 𝑄 là nửa liên tục dưới tại 𝑥 0 nếu với mọi lưới {𝑥 𝛼 } hội tụ về 𝑥 0 thì 𝑄(𝑥 0. - Cho hàm ℎ: 𝑋 → 𝑌 và véc tơ 𝑏 ∈ 𝑌, chúng ta sử dụng các kí hiệu sau để biểu thị các tập mức của hàm véc tơ ℎ:. - Định nghĩa 2.2 (Aubin and Frankowska, 1990, Định nghĩa 2.1.1, trang 56) Ánh xạ đa trị 𝑄: 𝑋 ⇉ 𝑌 được gọi là đóng nếu Gph 𝑄. - 𝑋 × 𝑌 ∣ 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥)} là tập đóng.. - Định nghĩa 2.3 Cho ánh xạ ℎ: 𝑋 → 𝑌 , 𝑏 ∈ 𝑌 và Ω là một tập con lồi của 𝑋. - 3 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA ÁNH XẠ. - Phần này thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên cho ánh xạ nghiệm trong bài toán (EPEC). - Bổ đề sau đây trình bày kết quả về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ ràng buộc 𝑆 1. - Bổ đề 3.1 Nếu với mỗi 𝑦 ∈ 𝐴, lev ≮0 𝑓. - là tập đóng trên 𝐴 × Λ thì 𝑆 1 là nửa liên tục trên và có giá trị compact trong Λ. - 𝑦, 𝜆) là tập lồi thì 𝑆 1 có giá trị lồi.. - Chứng minh. - Xét 𝜆 0 ∈ Λ tuỳ ý, chúng ta cần chứng minh 𝑆 1 là nửa liên tục trên tại 𝜆 0 . - Giả sử ngược lại, 𝑆 1 không nửa liên tục trên tại 𝜆 0 , tức là có một lân cận 𝑈 của 𝑆 1 (𝜆 0. - và một lưới {𝜆 𝛼 } hội tụ về 𝜆 0 sao cho với mỗi 𝛼, tồn tại 𝑥 𝛼 ∈ 𝑆 1 (𝜆 𝛼. - Do tính compact của 𝐴 nên chúng ta có thể giả sử 𝑥 𝛼 → 𝑥 0 với 𝑥 0 ∈ 𝐴. - Nếu 𝑥 0 ∉ 𝑆 1 (𝜆 0 ) thì tồn tại 𝑦 ∈ 𝐴 sao cho. - Vì 𝑥 𝛼 ∈ 𝑆 1 (𝜆 𝛼 ) nên chúng ta có 𝑓(𝑥 𝛼 , 𝑦, 𝜆 𝛼. - chúng ta suy ra rằng 𝑓(𝑥 0 , 𝑦, 𝜆 0. - Bây giờ chúng ta chứng minh 𝑆 1 (𝜆 0 ) compact.. - Vì 𝐴 là tập compact nên chúng ta chỉ cần chứng minh 𝑆 1 (𝜆 0 ) đóng trong 𝐴. - Khi đó, với mọi 𝑦 ∈ 𝐴, chúng ta có 𝑓(𝑥 𝛼 , 𝑦, 𝜆 0. - Vậy 𝑆 1 (𝜆 0 ) là tập đóng trong 𝐴, và do đó nó là tập compact.. - Cuối cùng, chúng ta chứng minh 𝑆 1 (𝜆 0 ) tập lồi.. - Với mọi 𝑦 ∈ 𝐴, ta có 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦, 𝜆 0. - Vậy 𝑆 1 𝑤 (𝜆 0 ) là tập lồi.. - Chúng ta tính được tập nghiệm 𝑆 1 (0. - {0} với mọi 𝜆 ∈ (0,1]. - Rõ ràng 𝑆 1 không nửa liên tục tại 0. - không là tập đóng. - 𝑛 , ta có 𝑓(𝑥 𝑛 , 1, 𝜆 𝑛. - Chúng ta tính được 𝑆 1 (𝜆. - [1,2 ] với mọi 𝜆 ∈ Λ. - Chúng ta thấy rằng 𝑆 1 là liên tục và có giá trị compact trên [1,2]. - Tuy nhiên, 𝑆 1 (𝜆) không là tập lồi. - 𝑦, 𝜆) không là tập lồi.. - Bổ đề 3.2 Với mỗi 𝜆 ∈ 𝛬, giả sử tồn tại 𝑥 ∈ 𝐴 sao cho 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆. - 0 với mọi 𝑦 ∈ 𝐴. - Giả sử thêm rằng lev ≤0 𝑓 là tập đóng trong 𝐴 × 𝐴 × Λ và với mọi 𝑦 ∈ 𝐴, chúng ta có 𝑓. - Khi đó, ta có 𝑆 1 là nửa liên tục dưới trong Λ.. - Trước nhất chúng ta chứng minh rằng 𝑆 0 là nửa liên tục dưới tại 𝜆 0 ∈ Λ tuỳ ý.. - Giả sử rằng có 𝑆 0 là không nửa liên tục dưới tại 𝜆 0 . - Khi đó, tồn tại lưới {𝜆 𝛼 } hội tụ về 𝜆 0 và 𝑥 0 ∈ 𝑆 0 (𝜆 0 ) sao cho với mọi lưới {𝑥 𝛼. - (1 − 𝑡 𝛼 )𝑥 0 , khi đó 𝑥̂ 𝛼 ∈ 𝐴 và 𝑥̂ 𝛼 → 𝑥 0 khi 𝑡 𝛼 → 0. - Theo giả thiết phản chứng ở trên, tồn tại lưới con {𝑥̂ 𝛽 } với 𝑥̂ 𝛽 ∉ 𝑆 0 𝑤 (𝜆 𝛽 ) với mọi 𝛽. - Điều này có nghĩa là tồn tại 𝑦 𝛽 ∈ 𝐴, sao cho. - Do A compact nên chúng ta có thể giả sử tồn tại một lưới {𝑦 𝛽 } hội tụ về 𝑦 0 với 𝑦 0 ∈ 𝐴. - Bây giờ, chúng ta kiểm tra rằng 𝑆 1 (𝜆 0. - Với mỗi 𝑦 ∈ 𝐴, ta có 𝑓(𝑥 0 , 𝑦, 𝜆 0. - chúng ta thu được 𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦, 𝜆 0. - Sử dụng tính nửa liên tục dưới của 𝑆 0 tại 𝜆 0 , chúng ta được:. - Điều này có nghĩa là 𝑆 1 là nửa liên tục dưới tại 𝜆 0 , và vì thế nó nửa liên tục dưới trong Λ.. - Từ Bổ đề 3.1 và Bổ đề 3.2, chúng ta có các kết quả sau.. - Định lí 3.1 Với mỗi 𝑦 ∈ 𝐴, 𝜆 ∈ Λ, giả sử rằng 𝑓. - là tập lồi đóng trong 𝐴 × Λ. - Giả sử thêm rằng, lev ≤0 𝑓 là tập đóng trong 𝐴 × 𝐴 × Λ, Khi đó, 𝑆 1 có giá trị lồi compact và liên tục trong Λ.. - Bây giờ, chúng ta phát biểu kết quả về tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng véc tơ với ràng buộc cân bằng.. - Định lí 3.2 Giả sử các giả thiết của Định lí 3.1 đều được thỏa mãn và lev ≮0 𝑔 là tập đóng trong 𝐴 × 𝐴 × Λ. - Khi đó 𝑆 2 là đóng và nửa liên tục trên trong Λ.. - Xét 𝜆 0 ∈ Λ tuỳ ý, chúng ta cần chứng minh 𝑆 2 là nửa liên tục trên tại 𝜆 0 . - Giả sử ngược lại, 𝑆 2 không nửa liên tục trên tại 𝜆 0 , tức là có một lân cận 𝑈 của 𝑆 2 (𝜆 0 ) sao cho tồn tại một lưới {𝜆 𝛼 } hội tụ về 𝜆 0 và một lưới {𝑥 𝛼. - 𝑈 với mọi 𝛼. - Theo kết quả của Bổ đề 3.1, 𝑆 1 là nửa liên tục trên tại 𝜆 0 và 𝑆 1 (𝜆 0 ) là tập compact. - Vì vậy, chúng ta có thể giả sử rằng 𝑥 𝛼 → 𝑥 0 với 𝑥 0 ∈ 𝑆 1 (𝜆 0. - Từ kết quả của Bổ đề 3.2, chúng ta suy ra 𝑆 1 là nửa liên tục dưới tại 𝜆 0 , và do đó tồn tại một lưới {𝑦 𝛼. - Kết hợp điều này với tính đóng của lev ≮0 𝑔, chúng ta được 𝑔(𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝜆 0. - Với kỹ thuật chứng minh tương tự như trong Bổ đề 3.1, chúng ta cũng thu được tính compact của 𝑆 2 (𝜆 0. - Do 𝑆 2 là nửa liên tục trên trong 𝛬 và 𝑆 2 (𝜆) có giá trị đóng với mọi 𝜆 ∈ Λ, sử dụng Bổ đề 2.2 chúng ta dễ dàng chứng minh được 𝑆 2 đóng.. - Trong bài báo này, bằng cách sử dụng các giả thiết liên quan đến tính đóng giảm nhẹ và dạng lồi suy rộng, tính nửa liên tục trên và tính đóng của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng phu thuộc vào tham số đã được nghiên cứu thành công. - Do bài toán cân bằng là dạng tổng quát của nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá như đã đề cập ở Mục 1, nên các kết quả đạt được của bài báo có thể áp dụng để thiết lập điều kiện ổn định cho bài toán tối ưu hai mức, bài toán tối ưu có ràng buộc cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân hai mức,… Gần đây, việc nghiên cứu các mô hình tổng quát của bài toán cân bằng như bài toán bao hàm biến phân, bài toán quan hệ biến phân đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. - Do đó, những công cụ và cách tiếp cận đã được đề xuất trong bài báo này vẫn có thể áp dụng trong việc nghiên cứu điều kiện ổn định cho các lớp bài toán tổng quát vừa nêu.