- ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ MẠNH. - Bài toán cân bằng vectơ mạnh, bài toán phụ, phép chiếu mêtric, phép vô hướng hóa phi tuyến, thuật toán chiếu lặp Keywords:. - Trong bài báo này, bài toán cân bằng vector mạnh với hàm mục tiêu được cho dưới dạng tổng của hai hàm được nghiên cứu. - Phép vô hướng hóa phi tuyến và phép chiếu metric được áp dụng nhằm xây dựng thuật toán chiếu lặp để tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ mạnh (SVEP). - Để xây dựng thuật toán giải đó, trước hết bài toán phụ (AP) liên kết với bài toán SVEP được thiết lập. - Hơn nữa, các tính chất cho hàm mục tiêu dạng tổng cùng với mối quan hệ của hai bài toán trên cũng được nghiên cứu đến. - Từ đó, thuật toán chiếu lặp cho bài toán SVEP đã được đề xuất. - Ứng dụng phương pháp vô hướng hóa phi tuyến giải bài toán cân bằng vectơ mạnh. - Bài toán cân bằng được giới thiệu lần đầu tiên bởi Blum và Oettli vào năm 1994 (Blum và Oettli, 1994), kể từ đó nó đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. - Bài toán cân bằng đóng vai trò lớn trong lý thuyết tối ưu, vì nó là dạng tổng quát của nhiều bài. - toán quan trọng trong tối ưu hóa như: bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên, bài toán cân bằng Nash,… Một số chủ đề quan trọng về bài toán cân bằng đã và đang được quan tâm nghiên cứu bao gồm sự tồn tại nghiệm (Ansari et al., 2001. - Sau đây, mô hình bài toán cân bằng cho cả dạng vô hướng và dạng vectơ được giới thiệu lại. - Cho 𝐸 là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con khác rỗng của 𝐸. - Cho song hàm cân bằng nhận giá trị thực 𝑔 : 𝑋 𝑋 → ℝ , tức là 𝑔 𝑥, 𝑥 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝑋. - Bài toán cân bằng vô hướng được phát biểu như sau:. - Bài toán cân bằng vô hướng đã được mở rộng thành bài toán cân bằng vectơ cho cả hai dạng mạnh và yếu, cụ thể như sau:. - Cho 𝑍 là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍, (tức là, 𝐶 là tập con đóng của 𝑍 và thỏa mãn các tính chất sau: ∀𝑐, 𝑐 ∈ 𝐶, ∀𝜆 ∈ ℝ , 𝜆𝑐 ∈ 𝐶, 𝑐 𝑐 ∈ 𝐶, 𝐶. - Xét song hàm cân bằng nhận giá trị vectơ 𝑓: 𝑋 𝑋 → 𝑍. - Bài toán cân bằng vectơ mạnh được phát biểu như sau:. - Hàm vô hướng hóa phi tuyến được giới thiệu lần đầu trong bài báo Gerstewitz (Tammer), 1983. - Đây là công cụ hữu hiệu nhằm đưa bài toán vectơ mạnh về bài toán vô hướng, từ đó dễ dàng khai thác và sử dụng triệt để được các tính chất nổi trội của bài toán vô hướng, đồng thời cũng tránh được một số hạn chế khi xử lý trực tiếp trên bài toán vectơ.. - Thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng được đề cập ở công trình của Iusem và Sosa (2003), và sau đó, nhiều kết quả nghiên cứu nhằm cải tiến các kết quả đã có cũng như mở rộng cho các trường hợp tổng quát của bài toán ban đầu đã được công bố trong thời gian gần đây (Wang và Li, 2015).. - Như chúng ta được biết, bài toán cân bằng với hàm mục tiêu dạng tổng có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế, nhưng đến nay chỉ có các công trình nghiên cứu về điều kiện tồn tại cho lớp bài toán này (Kassay và Miholca, 2015 và các tài liệu tham khảo trong đó) và chưa có bài báo nào xem xét đến thuật toán chiếu lặp, một thuật toán rất hữu hiệu (Isem và Sosa, 2003), cho trường hợp quan trọng này.. - Từ những quan sát trên, trong bài báo này các tính chất của hàm tổng được tập trung nghiên cứu;. - bên cạnh đó hàm vô hướng hóa được áp dụng để thiết lập bài toán phụ liên kết với bài toán cân bằng vectơ mạnh với hàm mục tiêu ở dạng tổng. - đồng thời mối liên hệ về tập nghiệm của hai bài toán trên được quan tâm xem xét một cách chi tiết. - từ đó đề xuất thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ mạnh với hàm mục tiêu ở dạng tổng. - Nội dung bài báo được sắp xếp theo bố cục như sau: Mục 2 trình bày các khái niệm, tính chất liên quan mà sẽ sử dụng trong các phần sau. - Trong Mục 3, các tính chất của hàm tổng được thiết lập, hàm vô hướng hóa được sử dụng nhằm xây dựng bài toán phụ. - Mối quan hệ giữa bài toán phụ và bài toán ban đầu được xem xét.. - Đồng thời, thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ mạnh với hàm mục tiêu ở dạng tổng được đề xuất. - 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN Cho 𝐻 là không gian Hilbert thực được trang bị tích vô hướng. - Cho 𝐾 là tập con đóng, lồi, khác rỗng của 𝐻. - Nó được đặc trưng bởi tính chất 〈𝑃 𝑥 𝑦, 𝑃 𝑥 𝑥〉 0,. - Định nghĩa 1 (Tanaka, 1997) Cho 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - Định nghĩa 2 (Tanaka, 1997) Cho 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - (i)nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) trên 𝑋 nếu với bất kỳ 𝑧 ∈ 𝑍, tập 𝐿 𝑧 𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑔 𝑥 ∈ 𝑧 𝐶 đóng trong 𝑋;. - (ii)nửa liên tục trên (viết tắt là usc) trên 𝑋 nếu với bất kỳ 𝑧 ∈ 𝑍, tập 𝐿 𝑧 𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑔 𝑥 ∈ 𝑧 𝐶 đóng trong 𝑋;. - Định nghĩa 3 (Tanaka, 1997) Cho 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con lồi, khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - (i)𝐶-lồi nếu với bất kỳ 𝑢 , 𝑢 ∈ 𝑋 và với bất kỳ 𝑡 ∈ 0,1 , ta có ℎ 𝑡𝑢 1 𝑡 𝑢 ∈ 𝑡ℎ 𝑢. - (ii)𝐶-tựa lồi nếu với bất kỳ 𝑧 ∈ 𝑍, tập 𝑢 ∈ 𝑋 | ℎ 𝑢 ∈ 𝑧 𝐶 lồi;. - (iii)𝐶-tựa lồi ngặt nếu với bất kỳ 𝑢 , 𝑢 ∈ 𝑋 và với bất kỳ 𝑡 ∈ 0,1 , ta có ℎ 𝑡𝑢 1 𝑡 𝑢 ∈ ℎ 𝑢 𝐶 hoặc ℎ 𝑡𝑢 1 𝑡 𝑢 ∈ ℎ 𝑢 𝐶.. - Định nghĩa 4 (Fu và Wan, 2002) Cho 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con lồi, khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - (i)𝐶-đơn điệu nếu với bất kỳ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐶;. - (ii)𝐶-giả đơn điệu nếu với bất kỳ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐶;. - (iii)𝐶-giả đơn điệu mạnh nếu với bất kỳ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 ∉ 𝐶 ⇒ 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐶\ 0. - Định nghĩa 5 Cho 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con lồi, khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - Ánh xạ 𝑓 ∶ 𝑋 𝑋 → 𝑍 được gọi là 𝐶-giả đối xứng nếu với bất kỳ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐶.. - Bổ đề 1 (Iusem và Sosa, 2003) Cho 𝑌 là tập con khác rỗng của ℝ . - Phần tiếp theo giới thiệu hàm vô hướng hóa phi tuyến cùng các tính chất của nó. - Cho 𝑍 là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝐶 ⊆ 𝑍 là nón có đỉnh, đóng, lồi với phần trong khác rỗng. - Hàm vô hướng hóa phi tuyến 𝜉 : 𝑍 → ℝ xác định bởi 𝜉 𝑧 𝑚𝑖𝑛 𝑡 ∈ ℝ|𝑧 ∈ 𝑡𝑒 𝐶. - Bổ đề sau đây liệt kê một số tính chất quan trọng của hàm vô hướng hóa phi tuyến.. - (v)𝜉 có tính cộng tính dưới, tức là với bất kỳ 𝑧 , 𝑧 ∈ 𝑍 ta có 𝜉 𝑧 𝑧 𝜉 𝑧 𝜉 𝑧. - (vi)𝜉 thuần nhất với hệ số dương, tức là với bất kỳ 𝑧 ∈ 𝑍 và 𝜇 0 ta có 𝜉 𝜇𝑧 𝜇𝜉 𝑧. - Định lý 1 (Wang và Li, 2015) Giả sử 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực lồi địa phương, 𝑋 là tập con khác rỗng, lồi, compact của 𝐸, và 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - Giả sử song hàm 𝑓: 𝑋 𝑋 → 𝑍 thỏa mãn các tính chất sau:. - (ii)𝑓 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐶 với bất kỳ 𝑥 ∈ 𝑋;. - Định lý 2 (Wang và Li, 2015) Giả sử 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con khác rỗng, lồi, compact của 𝐸, và 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - 𝑋 ∩ 𝑈 sao cho 𝑓 𝑥̅, 𝑦 ∈ 𝐶, ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∩ 𝑈 thì 𝑥̅ là nghiệm của bài toán cân bằng vectơ mạnh.. - 3 THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ MẠNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA PHI TUYẾN. - Mục này sẽ trình bày một số tính chất liên quan đến hàm mục tiêu dạng tổng. - Tiếp theo đó là phần giới thiệu bài toán phụ liên kết với bài toán cân bằng vectơ dạng mạnh mà chúng ta đang quan tâm. - Bằng cách sử dụng hàm vô hướng hóa phi tuyến mà ta chuyển được bài toán dạng vectơ về dạng vô hướng (bài toán phụ). - Nối tiếp sau đó là các kết quả về mối liên quan giữa nghiệm của hai bài toán trên. - Và cuối cùng là việc đề xuất thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ dạng mạnh.. - (P3): với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑔 𝑥,⋅ và ℎ 𝑥,⋅ là các 𝐶- lồi trong 𝑋.. - Ta xét bài toán phụ liên kết với bài toán cân bằng vectơ dạng mạnh như sau. - Bổ đề sau đây trình bày các tính chất liên quan tập 𝐿 của bài toán phụ (AP). - Các tính chất này phục vụ cho việc thiết lập thuật toán trong phần sau:. - Theo tính chất của hàm vô hướng hóa 𝜉 , ta nhận được 𝑓 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐶 với mọi 𝑦 ∈ 𝑋.. - (ii) Với 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝜉 𝑓 𝑦, 𝑦 𝜉 0 0.. - Cuối cùng, với bất kỳ 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐿 và bất kỳ 𝑡 ∈ 0,1 , theo giả thiết (P3) ta có 𝑔 𝑥. - Tiếp theo là thiết lập một số tính chất liên quan đến hàm tổng 𝑓. - Việc kiểm chứng các tính chất này được thực hiện khá dễ dàng, nhờ dựa trên tính chất các hàm thành phần và các khái niệm liên quan. - Các tính chất này dùng trong các phần tiếp theo nhằm thiết lập thuật toán giải bài toán cân bằng vectơ mạnh.. - Bổ đề 4 Giả sử 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con lồi, khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - Như vậy, các tính chất 𝐶-liên tục, 𝐶-lồi và 𝐶-tựa lồi của các hàm thành phần được bảo toàn qua hàm tổng. - Tuy nhiên, đối với tính chất C-giả đơn điệu, ta cần giả thiết mạnh hơn, cụ thể là hàm thành phần là C-giả đơn điệu mạnh và C-giả đơn điệu.. - Bổ đề 5 Giả sử 𝐸, 𝑍 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, 𝑋 là tập con lồi, khác rỗng của 𝐸, 𝐶 là nón có đỉnh, đóng, lồi trong 𝑍. - Các kết quả sau đây cho biết mối quan giữa nghiệm của bài toán 𝐴𝑃 và bài toán 𝑆𝑉𝐸𝑃.. - 𝑋 là nghiệm của 𝐴𝑃 thì 𝑥̅. - là nghiệm của 𝑆𝑉𝐸𝑃 . - 𝑋 là nghiệm của 𝐴𝑃 . - Khi đó, ta có 𝑥. - Vì vậy, 𝑥̅ là nghiệm của 𝑆𝑉𝐸𝑃. - 𝑋 là nghiệm của 𝑆𝑉𝐸𝑃 thì 𝑥̅ là nghiệm của 𝐴𝑃. - 𝑋 là nghiệm của 𝑆𝑉𝐸𝑃 . - Khi đó, với mỗi 𝑦 ∈ 𝑋, ta có 𝑓 𝑥̅, 𝑦 ∈ 𝐶. - Khi đó, ℎ 𝑥̅, 𝑦 ∈ 𝐶. - Hơn nữa, từ (1) ta có 𝑔 𝑥̅, 𝑦 ∈ 𝐶 ℎ 𝑥̅, 𝑦 ⊆ 𝐶 𝐶 ⊆ 𝐶. - Khi đó, 𝜉 𝑔 𝑦, 𝑥̅ 0. - Tức là 𝑥̅ là nghiệm của 𝐴𝑃. - Khi đó, ℎ 𝑥̅, 𝑦 ∉ 𝐶. - Do đó, ta có 𝜉 ℎ 𝑦, 𝑥̅ 0. - Khi đó, tập nghiệm của bài toán 𝐴𝑃 khác rỗng.. - Trong phần tiếp theo, thuật toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ dạng mạnh được đề xuất.. - Thuật toán chiếu lặp này dựa vào hai công cụ chính đó là phép chiếu metric và kỹ thuật hàm vô hướng hóa phi tuyến. - Thuật toán. - Trong bài báo này, bằng cách sử dụng phép vô hướng hóa phi tuyến và phép chiếu metric, bài toán phụ cho bài toán cân bằng vectơ mạnh được xây dựng. - Thông qua việc thiết lập các tính chất cho hàm mục tiêu dạng tổng cùng với việc nghiên cứu mối quan hệ của hai bài toán trên, thuật toán chiếu lặp tìm nghiệm của bài toán cân bằng vectơ mạnh cho trường hàm mục tiêu của bài toán có dạng tổng được đề xuất