- MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC. - VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN. - 1.1 Đa thức đối xứng ba biến. - 1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - 1.3 Bất đẳng thức thường dùng. - 1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM. - 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. - 1.3.3 Bất đẳng thức Karamata. - 2 Bất đẳng thức với tổng không đổi 9 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ. - 2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. - 2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - 2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số. - 2.1.4 Bài toán liên quan. - 2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ. - 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. - 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - 2.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số. - 2.2.4 Bài toán liên quan. - 3 Bất đẳng thức có tích không đổi 45 3.1 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức hữu tỉ. - 3.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. - 3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - 3.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số. - 3.1.4 Bài toán liên quan. - 3.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm vô tỉ. - 3.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. - 3.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - 3.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số. - 3.2.4 Bài toán liên quan. - 4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến 63. - 4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM. - 4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. - 4.3 Sử dụng các tính chất của hàm số. - 4.4 Bài toán liên quan. - Bất đẳng thức là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học. - Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. - Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế. - Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic.. - Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằm nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, vậy nên tôi đã chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ của mình.. - Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên cứu lĩnh vực nhỏ trong đó. - "Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.". - • Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi.. - • Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi.. - • Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.. - ϕ(x, y, z. - Một hàm số P (x, y, z) của các biến x, y, z được gọi là một đa thức nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức. - P (x, y, z. - Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức.. - Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó không thay đổi với mọi hoán vị của x, y, z , nghĩa là. - Đa thức f(x, y, z) được gọi là thuần nhất bậc m , nếu f (tx, ty, tz. - Các đa thức. - σ 1 = x + y + z, σ 2 = xy + yz + zx, σ 3 = xyz, được gọi là đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z.. - Các đa thức s k = x k + y k + z k , (k = 0, 1. - Một tổng lũy thừa s k = x k + y k + z k đều có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ 1 , σ 2 , σ 3. - Tổng lũy thừa s k được biểu diễn qua cá đa thức đối xứng cở sở theo công thức. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2. - Theo bất đẳng thức. - Ta thu được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel).. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x i = y i , i = 1, 2. - Ta cũng phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức.. - Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = x 0. - Bất đẳng thức với tổng không đổi. - 2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu tỉ. - Đối với bất đẳng thức P (x, y, z. - Trong đó P (x, y, z) là đa thức hoặc phân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuật của bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra, AM − GM ngược dấu, đặt ẩn phụ. - Bài toán 2.1. - Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a 2. - Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.. - Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến. - [1] Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXBĐH Sư Phạm.. - [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội.. - [3] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXBGD.. - [5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB GD 2002.. - [7] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức trong các kì thi Olympic toán học, NXBĐHQG Hà Nội.. - [8] Cao Minh Quang,Một số dạng toán về bất đẳng thức ba biến với tích các biến không đổi, Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng Tháp 2013.. - [9] Phạn Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, NXBĐHQG Hà Nội.