- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI. - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN. - BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC. - 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Chuỗi Fourier. - 1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier. - 1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier. - 1.2 Tích phân Fourier. - 1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân. - 1.2.2 Công thức tích phân Fourier. - 2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản 14 2.1 Định nghĩa và ví dụ. - 2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng. - 2.3 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier. - 2.4 Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine. - 3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học 57 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản. - 3.3 Một số định lý quan trọng và ví dụ. - Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. - Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và ứng dụng của nó trong thống kê toán học.. - Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và tính chất cơ bản của nó. - Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân. - Qua đó ta đưa ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier.. - Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và các định lý quan trọng liên quan tới biến đổi Fourier. - Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier và các ví dụ cơ bản. - Tiếp theo ta sẽ nói về biến đổi Fourier của các hàm suy rộng. - Phần trọng tâm trong chương này chính là đi nghiên cứu về các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval. - Cuối cùng ta tìm hiểu về biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, tổng Poisson.. - tính mômen, phương sai bằng phương pháp biến đổi Fourier.. - Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân.. - 1.1 Chuỗi Fourier. - Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan trọng của nó.. - Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó.. - Định nghĩa 1.1.1. - Giả sử f (x) là hàm liên tục trong khoảng. - tuần hoàn với chu. - Ta xác định các hệ số a 0 , a n , b n (n = 1, 2. - theo công thức:. - Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức (1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và ký hiệu. - (1.5) Chú ý rằng vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên trong các công thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ.. - Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có b n = 0(n = 1, 2. - Nếu f (x) là hàm lẻ thì a 0 = 0, a n = 0(n = 1, 2. - Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây. - Định nghĩa 1.1.2. - [7] Cho f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả tích trên đoạn [−π, π]. - Khi đó các hệ số được xác định bởi. - f (x)e −inx dx, n ∈ Z , (1.6) được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x). - được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x).. - Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của f(n) ˆ là c n và chuỗi Fourier của hàm f(x) được viết dưới dạng. - Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f(x) thì f (x). - C và tuần hoàn với chu kỳ L = b − a thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau:. - Định nghĩa 1.1.3. - Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π. - Với mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định bởi. - Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.. - Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier.. - Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π và có hệ số Fourier lần lượt là f ˆ và g ˆ được xác định theo công thức (1.6). - Nhưng ngược lại, nếu các hệ số Fourier f ˆ (n. - Định lý 1.1.1. - [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π và f ˆ (n. - Khi đó, nếu f liên tục tại x 0 thì f (x 0. - [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và f ˆ (n. - Từ những kết quả trên ta có định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier như sau. - Định lý 1.1.2. - Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [−π, π] và có hệ số Fourier lần lượt là f(n) ˆ và g(n) ˆ được xác định theo (1.6). - Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.. - Định lý 1.1.3. - [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π và f (x. - f ˆ (n)e inx có các hệ số thỏa mãn P ∞. - ∞ thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f , tức là. - Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì giới hạn của nó cũng liên tục. - Ta có. - Hơn nữa, hệ số Fourier của hàm g(x) đúng bằng f ˆ (n) do đó f ˆ (n. - Khi đó, áp dụng Hệ quả 1.1 cho hàm liên tục f − g ta được f − g = 0 hay f = g. - Định lý 1.1.4. - Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi, liên tục cấp k trên [−π, π], tức là f ∈ C [−π,π] k . - Khi đó ta có đánh giá cho các hệ số Fourier