- Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. - Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*) a n−1)=n(3n+1)/2. - Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.. - Giả sử đã có S k =k(3k+1)/2 với k≥1.. - Ta phải chứng minh S k+1 =(k+1)(3k+4)/2 Thật vậy. - Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*. - Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng Giả sử đã có S k =k(4k 2 −1)/3 với k≥1. - Ta phải chứng minh. - S k+1 =(k+1)[4(k Thật vậy, ta có. - Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.. - Giả sử đã có A k =k 2 (k+1) 2 /4,(k≥1) Ta có:. - Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có. - Giả sử đã có B k =2k 3 −3k 2 +k chia hết cho 6.. - Ta phải chứng minh B k+1 =2(k+1) 3 −3(k+1) 2 +k chia hết cho 6.. - Giả sử A k =11 k+1 +12 2k−1 đã có chia hết cho 133.. - Ta có. - =11.11 k+1 +12 2k−1 .12 2. - Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*). - Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là 2 k+2 >2k+5 (1). - Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là 2 k+3 >2(k+1)+5 hay 2 k+3 >2k+7 (2). - b) Với n = 1 thì sin 2 α+cos 2 α=1 bất đẳng thức đúng.. - Giả sử đã có sin 2k α+cos 2k α≤1 với k≥1, ta phải chứng minh sin 2k+2 α+cos 2k+2 α≤1. - Thật vậy, ta có:. - =sin 2k α.sin 2 α+cos 2k α.cos 2 α≤sin 2k α+cos 2k α≤1. - Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có. - Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.. - a) Dùng phép thử với n ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng.. - Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.. - Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là 2 k >2k+1 (1). - ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là 2 k+1 >2k+3 (2). - Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. - Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. - Sau đó chứng minh tương tự như câu a).. - Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho tổng. - b) Dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.. - Ta có thể dự đoán S n =n/4n+1. - Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho n số thực a 1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn điều kiện. - Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có (1+a 1 )(1+a 2 )...(1+a n )≥1+a 1 +a 2 +...+an Giải:. - Với n = 1 bất đẳng thức đúng.. - Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là (1+a 1 )(1+a 2 )...(1+a k )≥1+a 1 +a 2 +...+ak (1) Nhân hai vế của (1) với 1+a k+1 ta được. - (1+a 1 )(1+a 2 )...(1+a k )(1+a k+1 )≥1+a 1 +a 2 +...+a k +a k+1 , nghĩa là bất đẳng thức đúng với n=k+1.. - Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng với các số thực a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n (n ∈ N. - ta có. - Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi a 1 ,a 2 $ cùng dấu.. - Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. - Đặt a 1 +a 2 +...+ak=A ta có. - tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1