- MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG. - Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn. - Bài toán về ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy. - Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp. - Các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ Error! Bookmark not defined.. - Hình học phẳng là dạng toán quen thuộc đối với học sinh trung học cơ sở cũng như học sinh trung học phổ thông. - Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng “.. - Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đường thẳng và đường tròn, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được bổ sung thêm các định lí thường dùng như Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải các bài toán về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng nhanh và dễ dàng hơn, trong luận văn của mình em nêu ra những nội dung sau. - Chương 1 trình bày các bài toán về đường thẳng, đường tròn.Gồm có các bài toán về ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy. - đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp.. - Chương 2 nêu trọng tâm của luận văn các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ gồm có 3 phần. - Các bài toán về đƣờng thẳng , đƣờng tròn 1.1.Bài toán về ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy.. - Bài toán 1. - Định lí Mê-nê-la-uýt. - Cho tam giác ABC .Ba điểm Q, R, P theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. - Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi.. - Chứng minh.. - Giả sử P, Q, R thẳng hàng.. - Qua C vẽ đường thẳng song song với PQ cắt AB tại C ′ (h.1) theo định lí Ta- lét ta có:. - Ngược lại, ta chứng minh rằng nếu thỏa mãn (1) thì ba điểm P, Q, R thẳng hàng. - Vì Q, R, P ′ thẳng hàng nên theo chứng minh trên. - Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng.. - Bài toán 2. - Định lí Xê – va . - Cho tam giác ABC .Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. - Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy. - (1) Chứng minh.(h.2). - Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại O. - Vẽ qua A đường thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ . - Theo định lí Ta- lét ta có MB. - Giả sử ba đường thẳng AM, BN, CP song song (h.3). - Ta có MB. - Ngược lại, giả sử ba điểm M, N, P tương ứng trên các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1).. - Nếu hai trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM và BN cắt nhau tại O . - Theo phần thuận ta có. - AM, BN, CP đồng quy tại O.. - Nếu không có hai đường nào trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau thì hiển nhiên cả ba đường thẳng song song với nhau.. - Bài toán 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC và A ′ B ′ C. - Nếu các đường thẳng AA. - CC ′ đồng quy thì các giao điểm AB ∩ A ′ B. - AC ∩ A ′ C ′ thẳng hàng, Ngược lại nếu các giao điểm của chúng thẳng hàng thì các đường thẳng AA. - CC ′ đồng quy.. - Chú ý : Các đường thẳng AA. - CC ′ gọi là đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác ABC và A ′ B ′ C. - các giao điểm AB ∩ A' B', BC ∩ B ′ C. - AC ∩ A ′ C ′ gọi là các giao điểm tương ứng của hai tam giác đó. - Khi đó định lí Đờ - dác được phát biểu như sau. - Các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng quy (hoặc song song) khi và chỉ khi giao điểm các cạnh tương ứng thẳng hàng.. - Giả sử các đường thẳng. - CC ′ đồng quy tại O.(h.4) và AB ∩ A ′ B. - Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO và ba điểmP, A. - B ′ ta có.. - A ′ O A ′ A = 1 Vào trong tam giác BCO và ba điểm Q, B. - C ′ ta có QB. - 1 và vào tam giác CAO và ba điểm R, A. - C ′ ta có RC. - RA = 1 từ đó theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ra ba điểm P, Q, R thẳng hàng.. - nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng, thì ba đường thẳng AA. - Giả sử hai đường thẳng AA ′ và CC ′ cắt nhau tại O. - Xét hai tam giác AA ′ P và CC ′ Q ta có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng AC, A ′ C. - PQ đồng quy tại R cho nên theo phần thuận a) thì giao điểm các cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm đó là AA. - Vậy đường thẳng AA. - CC ′ đồng quy tại O. - Bài toán 4. - Cho hai hình bình hành ABCD và AB ′ C ′ D ′ trong đó ba điểm A, B, B ′ thẳng hàng, ba điểm A, D, D ′ thẳng hàng. - Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BD ′ vàB ′ D. - Chứng minh rằng I, C. - C thẳng hàng.. - Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD ′ với ba điểm thẳng hàng B. - I, D (h.5) ta có. - Gọi M là giao điểm của BC và D ′ C ′ theo định lí Ta – lét ta có B ′ A. - Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BD ′ M và ba điểm I, C. - C ta có ba điểm I, C. - C thẳng hàng. - Bài toán 5. - Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng.. - Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BE, EC và CB của tam giác BEC (h.6).. - Khi đó các điểm I , J, K lần lượt nằm trên các đường thẳng NP,PM, MN.. - Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BEC và ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có.. - KM = 1 , áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP và ba điểm I,J, K ta suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng.. - Bài toán 6. - Trên các đường thẳng BD, BC, AC lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho AP. - Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng.. - Qua C vẽ đường thẳng song song với RD, đường thẳng này cắt BD tại C ′ (h.7).. - Theo định lí Ta – lét ta có RC. - 1 ( do P, O, B thẳng hàng. - Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC và ba điểm P, Q, R ta được ba điểm P, Q, R thẳng hàng. - Bài toán 7. - Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. - Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.. - Áp dụng định lí Xê – va (h.8).. - Ta có PA PB . - Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) nên PB= MB . - Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P ta được AM, BN, CP đồng quy.. - (1) Vũ Hữu Bình, Văn Như Cương, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Trương Công Thành, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình học 8 tập hai , Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. - (2) Vũ Hữu Bình, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Lê Quốc Hán, Hồ Quang Vinh, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình học 9 tập hai, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. - (3) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình học 10 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. - (4) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên Toán Hình Học 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. - (5) Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình Học 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. - (7) Nguyễn Bá Đang, 279 Bài Toán Hình Học phẳng Olympic các nước, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam