Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng.

- -NGUYỄN ANH ĐÀIPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬPSUY RỘNGLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCCHUYÊN NGÀNH: TOÁN TINHà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI.
- -NGUYỄN ANH ĐÀIPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬPSUY RỘNGChuyên ngành: Toán TinLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCNGÀNH: TOÁN TINNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS.
- NGUYỄN XUÂN THẢOHà Nội - 2014 Mục lục1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier sine và cosine vớihàm trọng 101.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-sine với hàm trọng.
- 171.2 Phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy Fourier sine, Fourier và Fourier cosine vớihàm trọng.
- 181.2.1 Tính chất toán tử tích chập suy rộng.
- 222 Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.
- 252.1 Biến đổi Hartley và tích chập suy rộng.
- 252.1.1 Biến đổi Hartley với phương trình Toeplitz-Hankel trên R.
- 292.2 Lớp các phương trình Toeplitz-Hankel.
- 312.2.2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt.
- 323 Phương trình vi - tích phân Toeplitz-Hankel 383.1 Biến đổi Hartley với phương trình vi-tích phân.
- 383.2 Lớp các phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel.
- 401 Luận văn cao học Nguyễn Anh ĐàiLỜI CẢM ƠNĐầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.
- Nguyễn Xuân Thảo,người đã tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo để luận văn này được hoàn thành, cũng như giúptôi tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học.Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trườngĐại học Bách khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường.
- Tại đây tôi đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường nghiên cứusôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn của mình.Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kĩ thuật HưngYên, Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ bản cũng như Bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi trongquá trình tôi được học tập, công tác và hoàn thành luận văn này.Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những ngườiluôn động viên, khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này.
- Xin chân thành cảm ơn.Hà Nội, tháng 9 năm 2014Học viênNguyễn Anh Đài2 Luận văn cao học Nguyễn Anh ĐàiMỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂNa.
- Các không gian hàm dùng trong luận văn.• R+= {x ∈ R, x > 0}• Lp(R.
- xác đinh bởi||f||Lp(R+)=∞Z0|f(x)|pdx1p.• ||f||Lp(R+,ρ)là chuẩn của hàm f trong không gian Lp(R+, ρ), xác định bởi||f||Lp(R+,ρ)=∞Z0|f(x)|pρ(x)dx1p.3 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàib.
- Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng trong luận văn• (.∗F.) (xem trang 9) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.• (.∗F c.) (xem trang 9) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine.• (.∗1.) (xem trang 9) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine.• (.γ∗2.) (xem trang 17) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- siny đối với các phép biến đổitích phân Fourier cosine và Fourier sine.• (.γ∗3.) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- e−ysiny đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier sine, Fourier và Fourier cosine.• (.γ∗4.) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- e−ysiny đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine.• (.∗3.) (xem trang 45) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley.4 Luận văn cao học Nguyễn Anh ĐàiMỞ ĐẦU1.
- Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài.Lý thuyết phép biến đổi tích phân đã ra đời và liên tục phát triển trong nhiều thập kỷ qua và cóứng dụng trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong các ngành Vật lý như quang học, điện, cơhọc lượng tử, âm thanh, cũng như trong sử lý ảnh.
- Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chậpđối với các phép biến đổi tích phân còn có vai trò không thể thiếu trong các ngành y học, địa lý, hảidương học.
- Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng.
- trước hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fouriercosine, phép biếnđổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hankel,Kontorovich - Lebedev, Stieltjeis.
- Bản thân phép biến đổi Fourier cũng ra đời xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J.
- nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt.Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [17,27])(F f )(x.
- (6)5 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàivà với f ∈ Lp(R.
- Các định nghĩa trên trùng nhau nếu f ∈ L1(R+) ∩Lp(R+).Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phép biến đổi tích phân cũngxuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20.
- Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biếnđổi Fourier, cụ thể tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng (xem [10])(f∗Fg)(x) =1√2π∞Z−∞f(y)g(x −y)dy, x ∈ R.
- xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fouriercosine như sau (xem [10])(f∗Fcg)(x) =1√2π∞Z0f(y)[g(x + y.
- đã đưa ra công thức tíchchập "lạ", khi trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine vàFourier cosine.
- Tích chập này xác định như sau (xem [28])(f∗1g)(x) =1√2π∞Z0f(u)[g(|x − u.
- (15)Sau đó, các tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin đã được xây dựng và nghiên cứu(xem [30.
- Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú trong tính toántích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Vật lí-Toán, phương trình vi phân, phương trình tíchphân, phương trình đạo hàm riêng, phương trinhg vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh, ...Mặc dù có nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưng cho đến trước những năm50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập đối với các phép biến đổi tích phân được xây dựng.Năm 1958, lần đầu tiên Vilenkin Y.
- thiết lập được công thức tích chập với hàm trọng đối vớiphép biến đổi Mehler-Fox.
- đã đưa ra tích chập với hàm trọng đối vớibiến đổi tích phân bất kỳ (xem [31.
- Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đối với các phép biếnđổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phânFourier sine (xem [31])...Khoảng những năm 90 của thế kỉ trước, Yakubovich S.
- đã giới thiệu một số tích chập suy rộngđối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổiH theo chỉ số.
- Trong đó đẳng thức nhân tử hóa có các phép biến đổi khác nhau thuộc cùng một họ.Trên cơ sở đó và tiếp theo ý tưởng của Kakichev V.
- đã đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ(xem [19.
- Kết quả trên đã mở ra một hướng mới nghiên cứu và xây dựng tích chập suy rộng đối vớicác phép biến đổi tích phân khác nhau.
- Cho đến nay, dựa trên công trình này, một số tích chập đãđược xây dựng và nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Stieltjes, Hilbert,Fourier cosine và Fourier sine (xem [32.
- tích chập suy rộng đối với phép biển đổi I (xem [33.
- tíchchập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược(xem [33.
- Phương trình này có rất nhiều ứng dụng7 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàithú vị trong các lĩnh vực khác nhau như Lí thuyết tán xạ, Lí thuyết động lực học chất lỏng, Lí thuyếtlọc tuyến tính, trong nghiên cứu và va chạm đàn hồi.
- Tuy nhiên, ngoại trừ mộtsố trường hợp đặc biệt đối với nhân Hankel k1và nhân Toeplitz k2, bài toán tìm nghiệm đóng chophương trình (16) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.Bện cạnh đó, dễ thấy phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) có thể viết lại dưới dạng sauf(x) +√2π(f∗Fch1)(x) +√2π(f∗1h2)(x.
- Vì vậy, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộngcó thể mở rộng cho lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) giải được nghiệm dưới dạng đóng.Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpsuy rộng."2.
- Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu.Mục đích của Luận văn này là xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpsuy rộng và kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhóm các biến đổi Fourier, Fourier sine vàFourier cosine.
- Cụ thể, nghiên cứu các tính chât của các toán tử tích phân xây dựng được như tínhunita trong không gian L2(R.
- Từ đó xây dựngnhững ứng dụng cụ thể như đánh giá nghiệm của các bài toán phương trình vi phân, phương trìnhtích phân.
- giải các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel cho biểu diễn dưới dạng đóng.
- giải cácphương trình vi-tích phân cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng.3.
- Phương pháp nghiên cứu.Trong luận văn này, sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tích phântrong không gian Lp(R.
- Lp(R) để chứng minh sự tồn tại của phép biến đổi tích phân và tính bị chặncủa chúng trong không gian Lp(R.
- Bên cạnh đó, còn sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi Fourier,Fourier sine và Fourier cosine vào xây dựng và giải các phương trình Toeplitz-Hankel, phương trìnhvi-tích phân Toeplitz-Hankel.4.
- Cấu trúc và các kết quả của Luận văn.Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành ba chương:Chương 1.
- xây dựng và nghiên cứu các lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suyrộng với hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine.Định lí chính trong phần này là định lí kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính unita của8 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàicác phép biến đổi mới xây dựng được trong không gian L2(R.
- Bên cạnh đó, xậy dựng một số ví dụcụ thể minh họa cho sự tồn tại của các lớp phép biến đổi này.
- Ứng dụng các phép biến đổi này trongviệc giải các bài toán vi-tích phân được trình bày cụ thể trong Chương 3.Chương 2.
- xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng,biến đổi Hartley với tích chập suy rộng.
- Lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel đối với nhómcác biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine.
- Ứng dụng của tích chập, tích chập suyrộng để thiết lập giải một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân đặcbiệt và trường hợp nhân bất kỳ và vế phải đặc biệt cũng đưuọc nghiên cứu.Trong Chương 3.
- ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng và biến đổi Hartley thiết lập và giảimột số phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel.
- Ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng đểthiết lập giải một số phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel với trường hợp vế phải đặc biệt.5.
- Ý nghĩa các kết quả của Luận văn.Kết quả của Luận văn góp phần làm phong phú thêm về lí thuyết các phép biến đổi tích phân,phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng.
- phong phú thêm lí thuyết phương trình tích phân,phương trình vi-tích phân.
- Các kết quả và ý tưởng của Luận văn có thể sử dụng trong nghiên cứu cácphép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với các phép biến đổi tích phân khác.
- Nội dung chínhcủa Luận văn dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danh mục công trình đã công bốliên quan đến Luận văn", các kết quả này đã được báo cáo tại:• Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.• Seminar Bộ môn Toán, trường Đại học Sư phạm Kĩ thuật Hưng Yên.• Tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã phản biện, đang chờ nhận đăng.9 Chương 1Phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier, Fourier sinevà cosine với hàm trọngTrong chương này, trình bày các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng.
- Tập trung vàokhai thác các tích chập suy rộng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine vàFourier sine.
- Bên cạnh việc thiết lập điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi mới xây dựng là unitatrong L2(R+) và nghiên cứu tính bị chặn trong không gian Lp(R.
- 1 ≤ p ≤ 2, xây dựng các ví dụ cụthể minh họa cho các phép biến đổi xây dựng được.1.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fouriercosine-sine với hàm trọngTrong mục này, trình bày một lớp tổng quát các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chậpsuy rộng(fγ∗2g)(x) =12√2π∞Z0f(u)[g(|x+u−1|)+g(|x−u+1|)−g(x+u+1)−g(|x−u−1|)]du, x > 0, (1.1)cụ thể là phép biến đổi tích phân có dạng sau(K3;k1,k2f)(x.
- (1.2)10 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàitrong đó ai(i = 1, n) là các hằng số đã biết.
- Ta sẽ chứng minh các định lí kiểu Watson, định lí kiểuPlancherel cũng như tính bị chặn đối với phép biến đổi (1.2) từ Lp(R+) vào Lq(R+) với 1 ≤ p ≤ 2.Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể minh họa cho các lớp phép biến dổi này.
- Ứngdụng cụ thể của phép biến đổi trên vào giải một lớp bài toán tích phân và bài toán vi-tích phân sẽđược trình bày cụ thể trong Chương 2 và 3.1.1.1 Tính unita trong không gian L2(R+)Trong phần này chúng ta xét một lớp các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suyrộng (1.1).
- Định lí dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi này là unita trên L2(R+).Định lý 1.1.1.
- (Fck2)(y)| =1√2πnPk=0aky2k(1.3)là cần và đủ để phép biến đổi f(x) 7→ (K3;k1,k2f)(x.
- f (|x − y|)]dy(1.4)là unita trong L2(R+) và có phép biến đổi ngược dưới dạng đối xứng như sauf(x) =nXk=0(−1)kakd2kdx2k∞Z0k1(y)[g(|x + y − 1.
- L2(R) nếu và chỉ nếu (F h)(x),ddx(F h)(x),d2dx2(F h)(x), ...,dndxn(F h)(x) ∈L2(R).
- FcnXk=0aky2kh(y)(x).
- (1.6)11 Luận văn cao học Nguyễn Anh ĐàiTừ điều kiện (1.3), suy ra√2πnPk=0aky2k[2siny(Fsk1)(y.
- Theo đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi Fourier cosine vàFourier sine ||f ||L2(R.
- ||f||L2(R+).Do phép biến đổi (1.4) là đẳng cự.
- Suy ra(Fcg)(y) =√2πnXk=0aky2k[2siny(Fsk1)(y.
- (Fck2)(y)](Fcf)(y)Từ đó, điều kiện (1.3) cho ta(Fcf)(y) =√2πnXk=0aky2k[2siny(Fsk1)(y.
- (Fck2)(y)](Fcg)(y).Theo điều kiện (1.3),√2πnPk=0aky2k[2siny(Fsk1)(y.
- g(|x − y|)]dy.Khi đó phép biến đổi (1.4) là unita trên L2(R+) và phép biến đổi ngược có dạng (1.5).Điều kiện đủ.
- Nếu phép biến đổi (1.4) là unita, khi đó dẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier12 Luận văn cao học Nguyễn Anh Đàicosine cho ta ||g||L2(R.
- Suy ra||g||L2(R+)=||√2πnXk=0aky2k[2siny(FsK − 1)(y.
- Phép biến đổi (1.4) và phép biến đổi ngược (1.5) có thể viết lại như saug(x.
- (xem [41]) Một hàm số h ∈ L2(R+) được gọi là một nhân Fourier cosine đốixứng (với đa thức đặc trưngnPk=0aky2k) nếu thỏa mãn điều kiện sau|Fch|(y) =1√2πnPk=0aky2y(1.8)Định lý dưới đây cho ta tính chất của các cặp nhân Fourier cosine - sine và mối liên hệ với nhânFourier cosine đối xứng.Định lý 1.1.2.
- Giả sử (k1, k2) và (l1, l2) là hai cặp nhân Fourier cosine-sine với đa thức đặc trưngtương ứngn1Pk=0aky2kvàn2Pk=0bky2k.
- Giả sử h là một nhân Fourier cosine đối xứng với đa thức đặc trưngn3Pk=0cky2k.
- (2k1γ∗Fsl1+k1∗1l2+l1∗1k2, k2∗Fcl2) và (2k2γ∗Fsl1, 2k1γ∗2l2+2l1γ∗2k2+k2∗Fcl2)là các cặp nhân Fourier cosine-sine.b) (2k1γ∗2h.
- (k2∗Fch) là một nhân Fourier cosine đối xứng.13 Luận văn cao học Nguyễn Anh ĐàiChứng minh.
- a) Sử dụng đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine,ta có thể dễ dàng chứng minh rằng (k1∗1h) và k2∗Fch là các hàm bình phương khả tích trên R+(xem[3, 6.
- Fc(k2∗Fch)(y)| =n1+n3Xk=0dky2y.Hay, ((k1∗1h), (k2∗Fch)) xác định một cặp nhân Fourier cosine-sine.
- Các ý còn lại của định lí đượcchứng minh tương tự.Bây giờ ta chỉ ra sự tồn tại của cặp nhân Fourier cosine-sine.
- (Fck2)(y)| =1√2πsin2y(Fsh1)(y)(Fsh2)(y) +1√2π(Fsh1)(y)(Fsh2)(y π(1 + sin2y)(Fsh1)(y)(Fsh2)(y)=1√2πnPk=0aky2kVậy (k1, k2) là một cặp nhân Fourier cosine-sine.Một ví dụ khác cho sự tồn tại của cặp nhân Fourier cosine-sine như sau.Giả sử h1, h2là các hàm trong không gian L2(R+) thỏa mãn|(Fch1)(y)(Fch2)(y)| =1nPk=0aky2k(1 + sin2y)(1.11)và k2, k2∈ L2(R+) xác định bởik1(x) =12√2π(h1γ∗2h2)(x), k2(x) =1√2π(h1∗Fch2)(x),trong đó (.γ∗2.) xác định trong [2], (.∗Fc.) xác định bởi (10

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt