Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

- Chuỗi Fourier và tích phân Fourier.
- Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier.
- Tích phân Fourier.
- Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier.
- Chuỗi Fourier.
- ta suy ra.
- có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet.
- x là tổng Fejer, và từ các công thức tích phân Dirichlet ta có.
- π ta có.
- Chứng minh.
- Từ định nghĩa ta có.
- (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn.
- Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2π).
- Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có.
- Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá.
- Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên n ε đủ lớn sao cho với n n ≥ ε thì 2 tích phân còn lại đều nhỏ hơn / 3 ε , và tổng hợp lại ta có.
- Bây giờ ta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng.
- (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn.
- ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn.
- ta có.
- Một hệ các hàm số ϕ ϕ 1 , 2.
- Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau..
- là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn.
- là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều)..
- π với mọi hàm liên tục f.
- là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn.
- là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình..
- Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng.
- x là khả tích trên đoạn [ 1,1.
- n là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây:.
- góc của hệ các hàm lượng giác, ta có.
- Nếu f là hàm liên tục trên đoạn.
- Theo định lý trên ta có 1.
- Với các giả thiết của định lý, chúng ta có lim.
- Cho hàm f liên tục trên đoạn.
- trong đó, theo định nghĩa, ta có.
- Theo bổ đề ta có | a m | m k.
- ta có lim n 0.
- n = ta có.
- ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng.
- c = a + b i ta có.
- Lưu ý rằng cos α ± i sin α = e ± i α , ta có.
- Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của một hàm nhận giá trị phức.
- những hàm khả tích tuyệt đối (có nghĩa.
- Tích phân suy rộng (của hàm phức với biến số thực) được định nghĩa hoàn toàn tương tự..
- Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực.
- Nếu, một cách hình thức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân sau đây (gọi là tích phân Fourier của hàm f.
- Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó.
- x thì ta có.
- 0 , ta xét tích phân.
- Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng lim.
- 0 , theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có.
- η của tích phân sau.
- F y ξ là liên tục theo y cho nên từ công thức.
- bằng cách cho qua giới hạn dưới dấu tích phân ở vế trái, ta thu được.
- Đặt u = t − x , ta có.
- Bằng cách tách tích phân thành 2 khúc.
- Trong mục nói về tích phân Dirichlet (Chương 5) ta đã biết rằng.
- Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở vế phải đều tiến tới 0 khi η.
- liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả tích (tuyệt đối) trên đoạn[0,1.
- Do bổ đề ta có.
- Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x thì tích phân Fourier tại điểm x cho giá trị của chính hàm f..
- và do biểu thức dưới dấu tích phân theo dy là hàm chẵn theo y nên.
- f t cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân.
- là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y.
- 0 , tích phân.
- tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng 0.
- Tuy nhiên, điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy rộng.
- Chính vì lẽ này, người ta đưa ra khái niệm giá trị chính của tích phân.
- Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân suy rộng tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại ∞ như trên)..
- Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân tích phân là bằng nhau..
- Các tích phân suy rộng x dx.
- Trở lại với tích phân Fourier ta có.
- Nhân tích phân này với 2 i.
- Đây chính là một dạng khác của công thức tích phân Fourier..
- thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trở thành.
- Công thức F − 1 [ F f.
- f cũng chính là công thức tích phân Fourier dưới dạng khác.
- Vì hàm cosin là chẵn cho nên trong công thức tích phân Fourier (dạng thông thường) có thể đổi vị trí giữa t và x , nghĩa là.
- Cho nên, tích phân Fourier có thêm một dạng nữa.
- Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số), và ngoài ra.
- Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến ra.
- Khi ấy ta có.
- Ta có.
- Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân Fourier ta suy ra.
- Nếu hàm f x là liên tục và các hàm.
- Lấy đạo hàm theo tham số của tích phân.
- ta thu được tích phân hội tụ tuyệt đối và đều trên toàn trục số và bằng.
- Cho nên việc lấy đạo hàm dưới dấu tích phân là hợp lệ.
- Tích phân trên tồn tại nếu các hàm , ϕ ψ là bị chặn và khả tích tuyệt đối.
- là tích phân hội tụ đều trên toàn trục số (theo dấu hiệu Weierstrass và.
- Hơn thế, nó cũng là một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, bởi vì ta có (do tính hội tụ đều, phép đổi chỗ các dấu tích phân trong công thức sau đây là hợp lệ).
- s , ta có.
- Bằng cách đổi biến t = y − ξ , đổi thứ tự lấy tích phân (bạn đọc tự kiểm tra tính hợp lệ của phép đảo thứ tự này), rồi lại làm phép đổi biến x − y.
- ξ η , ta có.
- F ϕ ψ π e dx ϕ ψ t x t dt π ϕ t dt ψ x t e dx.
- Tích phân Fourier, biến đổi Fourier, và tích chập là những tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cho nên, cũng như các hàm Beta, hàm Gamma.
- (2) Từ (1) và (2) ta có phương trình tính.
- Lấy tích phân hai vế theo t ta thu được U.
- ω là hằng số lấy tích phân.
- Trên đây là những ứng dụng đơn giản (nhưng không tầm thường chút nào) của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trong việc giải quyết các bài toán nảy sinh trong kỹ thuật