- CỦA HỌ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. - 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân. - 1.2 Định lý điểm bất động. - 1.3 Toán tử nghịch đảo. - 1.4 Công thức biến thiên hằng số. - 2 Nhị phân mũ rời rạc 4 2.1 Nhị phân rời rạc của hệ phương trình sai phân. - 2.2 Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc. - 2.3 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc giữa hai hệ sai phân. - 3 Nhị phân mũ đều 17 3.1 Nhị phân mũ đều của hệ phương trình vi phân. - 3.2 Mối liên hệ giữa nhị phân mũ rời rạc và nhị phân mũ đều. - 3.3 Nhị phân mũ đều phụ thuộc tham số. - Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của gia đình, Thầy cô và bạn bè.. - Lê Huy Tiễn, Thầy rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. - Tôi xin cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục bảo vệ luận văn.. - Khái niệm nhị phân mũ là một chủ đề chính trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính và nó đặc biệt hữu ích khi người ta giải quyết các bài toán phi tuyến mà phần tuyến tính có nhị phân mũ.. - Một trong những tính chất quan trọng của nhị phân mũ là tính vững. - Tính vững nghĩa là không bị thay đổi bởi nhiễu của ma trận hệ số. - Nói rõ hơn, giả sử phương trình vi phân tuyến tính x. - A(t)x có nhị phân mũ đều, ở đây A(t) là hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ d × d. - Nếu B (t) cũng là hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ d × d và sup. - δ 0 đủ nhỏ thì phương trình y. - B (t)y cũng có nhị phân mũ đều.. - Xu hướng gần đây, các nhà toán học không đặt lên điều kiện của ma trận hệ số mà lại đặt lên dòng sinh ra bởi phương trình, tức là đặt lên toán tử tiến hóa. - Trong luận văn này không chỉ xét hệ đơn giản x. - A(t)x mà xét họ các phương trình vi phân phụ thuộc tham số. - Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh chi tiết mối liên hệ nhị phân mũ đều giữa họ các phương trình vi phân x. - Ý tưởng chứng minh tính liên tục của nhị phân mũ đều cho họ phương trình vi phân sẽ chuyển về nhị phân mũ rời rạc của phương trình sai phân. - Để làm rõ được chứng minh trên, chúng tôi đã tìm hiểu cách chứng minh của các nhà toán học sau.. - Coppel đã chứng minh định lý nhiễu nhưng kết quả lại ở mức độ đơn giản (xem [3. - Palmer đã chứng minh định lý nhiễu một cách tổng quát (xem [7]) và tương đương định lý nhiễu của Henry (xem [5. - nhưng cách chứng minh của Palmer khác của Henry.. - Trong luận văn này chúng tôi cho một ước lượng hiện liên quan đến định lý nhiễu của Henry cho nhị phân mũ và làm rõ các điều kiện biên của hệ số. - Vì vậy kết quả tốt hơn so với định lý nhiễu của Henry.. - Luận văn được chia làm ba chương:. - Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản mà trong chứng minh ở các chương sau cần dùng. - Các kiến thức chuẩn bị gồm có toán tử tiến hóa của phương trình vi phân, định lý điểm bất động, toán tử nghịch đảo, công thức biến thiên hằng số và Bổ đề Gronwall-Bellman.. - Chương 2: Nhị phân mũ rời rạc. - Chương này trình bày nhị phân rời rạc của hệ. - phương trình sai phân, bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc, mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc giữa hai hệ sai phân.. - Chương 3: Nhị phân mũ đều. - Chương này có chứng minh định lý chính trong luận văn. - Chương này trình bày nhị phân mũ đều của hệ phương trình vi phân, mối liên hệ giữa nhị phân mũ rời rạc và nhị phân mũ đều, nhị phân mũ đều phụ thuộc tham số, và ứng dụng trên đa tạp tích phân.. - Một số kí hiệu trong luận văn. - C( R , R d ) là không gian các hàm liên tục.. - BC( R , R d ) là không gian các hàm liên tục bị chặn.. - M (d × d, R ) là không gian các ma trận thực cỡ d × d.. - GL(d, R ) là không gian các ma trận thực khả nghịch cỡ d × d.. - BC(δ), U(δ) là các hình cầu mở bán kính δ trong không gian Banach BC và U.. - I là ma trận đơn vị.. - Kiến thức chuẩn bị. - Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. - Gọi X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.1.1), tức là nghiệm của hệ (1.1.1) thỏa mãn. - X(t)X −1 (s) là ma trận tiến hóa (hay toán tử tiến hóa) của hệ (1.1.1) và thỏa mãn các tính chất sau. - Định lý điểm bất động. - Định nghĩa 1.2.1. - Giả sử X là không gian metric với khoảng cách d. - Điểm x 0 ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x 0. - Định lý 1.2.1. - (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào chính nó có duy nhất điểm bất động.. - Toán tử nghịch đảo. - Định lý 1.3.1. - Cho X là không gian Banach và A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X . - ||A|| −1 thì toán tử I − µA có nghịch đảo liên tục, hơn nữa. - Công thức biến thiên hằng số. - Trong không gian R d , xét phương trình vi phân tuyến tính. - ở đây A(t) là ma trận liên tục cấp d × d với mọi t ∈ R . - Với mỗi s ∈ R và x s ∈ R d thì phương trình (1.4.1) có một nghiệm duy nhất x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s. - Toán tử tiến hóa X(t, s. - Xét phương trình vi phân. - với hàm f (t, x) liên tục. - Gọi x(t) là nghiệm của phương trình (1.4.2). - Khi đó, nghiệm của hệ (1.4.2) được xác định bởi công thức. - Công thức (1.4.3) được gọi là công thức biến thiên hằng số.. - Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn. - Nhị phân mũ rời rạc. - Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu định nghĩa nhị phân rời rạc cho phương trình sai phân tuyến tính, mối liên hệ tính nhị phân rời rạc giữa hệ sai phân tuyến tính và hệ sai phân phi tuyến. - Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc cũng được đề cập đến, bất đẳng thức này là công cụ quan trọng dẫn đến kết quả rất tốt cho các đánh giá. - Mối liên hệ giữa hai họ phép chiếu gần nhau. - Định lý cuối cùng trong chương này là công cụ quan trọng để chứng minh định lý chính trong chương sau.. - Nhị phân rời rạc của hệ phương trình sai phân. - xét phương trình sai phân. - Định nghĩa 2.1.1. - T (n, m) là toán tử tiến hóa cho (2.1.1) được định nghĩa. - Nhận xét: Nếu dãy (x n ) là một nghiệm của hệ (2.1.1) thì x n = T (n, m)x m , n, m ∈ Z . - Định nghĩa 2.1.2. - không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên R d được gọi là một họ phép chiếu nếu. - không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên R d được định nghĩa bởi. - [2] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.