- VỀ BẬC ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LÙI DẠNG KHỐI LIÊN TỤC Đinh Văn Tiệp*, Phạm Thị Thu Hằng Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài Bài báo này trình bày hai kết quả quan trọng về tính ổn định cho họ các phương pháp sai phân lùi dạng khối liên tục để giải bài toán xấp Ngày hoàn thiện xỉ nghiệm phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu.
- Ngoài tạo ra cầu nối giữa các kết quả mở rộng này với các kết quả ở bài báo đó, các mở rộng này đưa các chứng minh ở Phương pháp sai phân lùi bài báo đó đúng cho trường hợp tổng quát của 𝑘.
- Bên cạnh đó, sự mở Phương pháp đa bước dạng khối rộng này tạo ra những kết quả thú vị về tính chất một lớp các đa thức Phương trình vi phân thường đặc biệt được xây dựng mà việc chứng minh trực tiếp các tính chất của chúng là không đơn giản.
- Bậc ổn định của phương pháp Đặc trưng của tính ổn định DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4875 * Corresponding author.
- Họ các phương pháp này thể hiện tính hiệu quả vượt trội đặc biệt trong việc xấp xỉ nghiệm cho lớp các bài toán stiff [4]-[6].
- Tuy nhiên, các nghiên cứu này chỉ đưa ra các nhận định cho trường hợp 𝑘 ≤ 6 hoặc không có chứng minh cụ thể các kết quả sẽ được đề cập sau đây.
- 𝐵(1) là các ma trận cấp 𝑘 × 𝑘.
- Ở đây, phương pháp BDF cho bởi công thức: 𝑘−1 ℎ𝑓𝑛+𝑖.
- ,6 dựa vào quan sát cho các phương pháp này.
- 𝑗=0 Ngoài ra, trong bài báo đó, các lập luận về sự khả nghịch của ma trận 𝐴(1) được đưa ra từ những quan sát cho trường hợp bước 𝑘 = 2.
- Nội dung chính của bài báo này là sẽ đưa ra các chứng minh cho hai lập luận này với giá trị 𝑘 ≥ 2 tổng quát và dạng phát biểu của hai lập luận này cũng tổng quát hơn, thay vì xét 𝑘 + 1 điểm lưới với khoảng chia cách đều ℎ là 𝑡𝑛 , 𝑡𝑛 + ℎ, 𝑡𝑛 + 2ℎ.
- Xây dựng hệ số của phương pháp dạng ma trận Giả sử nghiệm đúng của (1) được biểu diễn thành: 𝑦(𝑡.
- 𝑡𝑘−1 và 𝑦′(𝑡) tại 𝑡𝑘 rồi đồng nhất các kết quả tương ứng với 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1.
- Quá trình này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: 1 𝑡0 𝑡02 … 𝑡0𝑘 𝑦𝑛 𝑦𝑛 𝑐0 1 𝑡1 𝑡12 … 𝑡1 𝑘 𝑦 𝑛+1 𝑦𝑛+1.
- Dạng ma trận của các kết luận cần chứng minh Đối với kết luận rằng ma trận 𝐴(1) là khả nghịch, từ phân tích (6) ta thấy rằng nó là đủ để kết luận này đúng nếu ma trận vuông con gồm 𝑘 cột đầu tiên của ma trận tích 𝐵𝐴−1 khả nghịch, tức hạng của ma trận 𝐵𝐴−1 bằng 𝑘.
- Đối với kết luận (4), ta cần chứng minh rằng, tổng 𝑘 cột đầu tiên của ma trận 𝐵𝐴−1 bằng véctơ cơ sở chính tắc 𝒆𝒌 = (0,0.
- Thực tế, trong bài báo này ta sẽ chứng minh một kết quả mạnh hơn thể hiện đặc tính của ma trận 𝐴−1 , ma trận nghịch đảo của 𝐴, đó là tổng 𝑘 véctơ cột đầu tiên của 𝐴−1 bằng véctơ cơ sở chính tắc 𝒆̂𝒌 = (0,0.
- Tính khả nghịch của ma trận 𝑨(𝟏) Ma trận vuông cấp 𝑘 −𝑎11 −𝑎12 ⋯ −𝑎1,𝑘−1 0 −𝑎21 −𝑎22 ⋯ −𝑎2,𝑘−1 0 𝐴(1.
- Kết quả này được chứng minh trong Định lý 1 dưới đây.
- Cho hai ma trận 𝑃 ∈ 𝕄(𝑟, 𝑝), 𝑄 ∈ 𝕄(𝑝).
- http://jst.tnu.edu.vn 318 Email:
[email protected] TNU Journal of Science and Technology Chứng minh.
- là các ký hiệu của không gian ảnh của ma trận và bao tuyến tính của tập véctơ tương ứng.
- Xét hai ma trận 𝐴, 𝐵 cho bởi: 1 𝑡0 𝑡02 … 𝑡0𝑘 0 1 2𝑡1 … 𝑘𝑡1𝑘−1 1 𝑡1 𝑡12 … 𝑡1𝑘 0 1 2𝑡2 … 𝑘𝑡2𝑘−1 𝐴.
- 2 𝑘 𝑘−1 1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 … 𝑡𝑘−1 0 1 2𝑡𝑘−1 … 𝑘𝑡𝑘−1 [ 0 1 2𝑡 𝑘 … 𝑘𝑡𝑘 ] 𝑘−1 [ 1 𝑡𝑘 𝑡𝑘2 … 𝑡𝑘𝑘 ] Khi đó, ma trận 𝐴 là khả nghịch và hạng của ma trận 𝐵 bằng 𝑘, với mọi bộ điểm lưới đôi một phân biệt 𝑡0 , 𝑡1.
- Chứng minh.
- Xét ma trận vuông con 𝐴∗ cấp 𝑘 của 𝐴 gồm 𝑘 hàng đầu tiên (từ trên xuống) và 𝑘 cột cuối cùng (từ trái qua phải), 𝑡0 𝑡02 … 𝑡0𝑘 𝐴