Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC

- Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1.
- Chứng minh rằng.
- xảy ra khi a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 Ví dụ: chứng minh rằng | x-y.
- Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1.
- Chứng minh rằng : |a + b.
- Chứng minh rằng : b(a + c.
- Chứng minh rằng : 2(a + b + c.
- Chứng minh rằng .
- 1  n  N 1 2 3 n–1 22/ Chứng minh rằng : 2.
- (1 + 3 abc )3 7/ Chứng minh rằng x (0.
- Chứng minh rằng a2)(1 + b2.
- Chứng minh rằng : 1 1 1 a) (1 + a )(1+ b )(1+ c.
- Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c.
- Chứng minh rằng a1 a2 an a) a + a.
- an2) 1 25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + b(a – b.
- n  N chứng minh rằng : 16 n ( n 1) n ( n n  1  2 a) 1 22 .
- xn = 1 Chứng minh rằng x )(1+ x )…(1+ x.
- Chứng minh rằng : 2 a 2 b 2 c a +b b +c c +a a b c 81 37.
- Chứng minh rằng : a2(1 + b2.
- Chứng minh rằng a )(1 + b )(1 + c.
- c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4 A= abc 13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x 19 §2 Bất phương trình bậc nhất I.
- Khái niệm bất phương trình một ẩn 1.
- Đặt Df  Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn.
- Tập hợp nghiệm Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x.
- Điều kiện của bất phương trình Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x 2 là 3x0 và x+10 4.
- Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.
- Hệ bất phương trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.
- Bất phương trình tương đương 1.
- Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
- g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x.
- Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.
- Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.
- Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.
- ;8] 20 * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a.
- 2 Đáp án: x ¼ * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau 5x  2 3  x x 43 3 x a) 1.
- a Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > 0 (1) Giải (1) (m-1)x > 2-3m (2.
- m < 1 bpt có nghiệm x < m 1 22 BÀI TẬP 1/ Giải các bất phương trình sau a) x  x  (2 x  3)( x  1) b.
- 1 x 1 x 6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: a.
- x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2  x2  4 x 8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm.
- Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 4 x  17 4/ Giải bất phương trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó.
- Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó.
- phần nào không lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau 3x  4 4 3 a) 1 b.
- x2 3x  1 2  x Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 3x  4 3x  4 2x x2 x2 x2 đặt 2x-2 = 0  x=1 x-2 = 0  x = 2 x.
- b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho x  11.
- 0  0 3x  1 2  x 3x  1 2  x (3 x  1)( 2  x.
- Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1.
- Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2.
- Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình.
- Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1.
- 3 3 3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau: a.
- Giải và biện luận phương trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1) Biện luận.
- Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b - nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm.
- nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm.
- Giải bất phương trình bậc nhất B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x) tập nghiệm.
- Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng Baát pt (1.
- (I) Baát pt (2) B1 : Giải bất phương trình (1.
- B2 : Giải bất phương trình (2.
- d) f(x)= 4x21 3x  1 2  x 2/ Giải các bất phương trình sau 2 5 1 1 a.
- x  1 2x  1 x  1 ( x x 2  3x  1 c.
- 3/ Giải bất phương trình 5 10 a) |5x4| 6 b.
- d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 2x  1 x  2 5/ Giải các bất phương trình sau 3 x2  x  3 a) 1 b) 1 2 x x c.
- 3 x 3 x x  6x  8 2 x  4x  4 2 | x  1 | 1 R= 2 S= 4 T= 2 x  8x  9 x  2x 2 x  x 1 7/ Giải các bất phương trình sau 28 (3  x)( x  2) 3 5 a) 0 b.
- 2 ;3/2) f) S Giải và biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1 x+4m2 d) x(m21.
- m41 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1) 9/ Giải các bất phương trình sau 3  2x a.
- 0 b) 0 (3x  1)( x  4) 3x  1 x2 x2 c.
- 10/ Giải hệ bất phương trình.
- 2 ;3) b) S Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình x  7  4 x  7 15 x  2  2 x  3 a.
- 2 Đáp số: a) S b) S={1} 12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau | 2x  1 | 1 a) |x+1|+|x1|=4 b.
- 2  3x  x 2  x  1 15/* Giải và biện luận phương trình 3x a) (2x 2 )(xm)>0 b) 0 x  2m  1 16/* Giải và biện luận hệ phương trình.
- x  m  0 30 BÀI TẬP 2 Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m.
- x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 3x  4 2x  5 a) 1 b.
- d) S Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a.
- x+1 Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a.
- x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau x  5 8 x  5  2.
- 4 Đáp số: a) Vô nghiệm b) S Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau.
- 2 Đáp số: a) S b) S= {1} Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình.
- 3x  1 3( x  2) 5  3x.
- 18 12 9 Đáp số: S= {4} 31 BÀI TẬP 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m  0 c) (m+1)x  2m(x+1)+2+x.
- m -1 m 1 m 1 m 1 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + 2 > 0 b) (x-2)2(x-4.
- 0 n) 1 x  1 2x  1  x3 1 3 2 x  3x  2 x 2 2 x 1 1 o.
- x2  x  2 x 1 3/ Giải các hệ bất phương trình sau  2x  3 3 x  1  2 x  7  x 1  1  a.
- 2 5 4/ Giải các hệ bất phương trình sau  2x x 1.
- 2 x  1  2 x  5  x 2  2x  5  x 2  3x  1.
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1.
- Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 .
- Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.
- Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1.
- Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên.
- x  y  0 Giải Vẽ các đường thẳng : (d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0 y S 1 x -1 35 BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn a) x+3 +2(2y+5.
- 2x-9 c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0 e) 2x-1 1 h) -3x+y+2 ≤ 0 k) 2x-3y+5 ≥ 0 Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn x y x  y  0.
- y  6 Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình.
- x  0 Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình: x  y  2  0.
- 0 - -0 + A II/ Bất phương trình bậc hai 1.
- Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax2+bx+c > 0 .
- 2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình.
- Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > 0 S=R b) -2x2+3x+5> 0 S c) -3x +7x-4 < 0 S .
- 2 Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ ) a) x2 - 4x = 2 x 2  8 x  12  6 ;x=2.
- 3x 2  5 x  7  3x 2  5 x  2  1