Chủ Đề 13- Tứ Giác Nội Tiếp

- CHỦ ĐỀ 13: TỨ GIÁC NỘI TIẾPA.
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứgiác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
- Đường tròn được gọilà đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng .
- Nếu trong một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứgiác đó nội tiếp được đường tròn.
- Nếu một tứ giác lồi có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa haiđỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn tức là chứng minh tứ minh tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh 5 điểm cùng thuộc một đường tròn tức là chứng minh hai tứ giác (có chung 3điểm) cùng nội tiếp.B.
- BÀI TẬP VẬN DỤNG.I/ BÀI TẬP MẪU.Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
- Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp.
- Hướng dẫn giảia) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o.
- các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứgiác BCEF nội tiếp.b) Vẽ đường tròn đường kính BC.
- ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn.
- Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH.
- Chứng minh rằng: a) AM.AB = AN.AC.
- b) Tứ giác BMNC nội tiếp.
- Hướng dẫn giảia) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90o (gt.
- các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đườngkính AH.
- AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.b) Theo chứng minh câu a) ta có: ∠AMN = ∠ACH Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.Bài 3: Cho tam giác ABC có góc.
- Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tamgiác.
- Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
- Hướng dẫn giải Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường trònngoại tiếp ΔABC .
- Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C.
- Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB,AC tại M và N.
- Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN.
- Chứng minhrằng: a) Tứ giác INQC nội tiếp.
- b) Tứ giác BPQC nội tiếp.
- Hướng dẫn giảia) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên AM = AN.
- Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh.
- (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2 =∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùngnhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được mộtđường tròn.b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o.
- ∠IQC = ∠BQC = 90o (1) Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp.
- tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O.
- Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn.
- Hướng dẫn giải Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt.
- tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.
- BC) Do đó ∠PON = 2∠ABC (1) Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD) Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD.
- ∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC.
- 2∠ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp.II/ LUYỆN TẬP.Bài 1.
- Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.
- Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻtiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ.
- Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD vàBC cắt nhau tại E.
- a) Chứng minh ABE cân.
- b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F .
- Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
- Chứng minh AK = 2CK.
- Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB.
- a) Chứng minh AB2 = AM.
- AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp .
- Chứng minh IC DC Bài 3.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
- Phân giác ngoài tại Acắt đường thẳng BC tại E và cắt đường tròn tại N.
- Chứng minh: a) MN vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
- b) ABN  EAK c) AK là tiếp tuyến của đường tròn (O).Bài 4.
- Cho ba điểm A, B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó.
- Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C.Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN .
- a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB.
- AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I.
- Chứng minh IN.
- AB c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố địnhkhi đường tròn (O) thay đổi.Bài 5.
- Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R .
- Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại E.
- Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắtAE tại M.
- a) Chứng minh M là trung điểm AE.
- b) Chứng minh IK.
- Tính diện tích tam giác MIK theo R.Bài 6.
- Cho tam giác ABC có ba góc nhọn.
- Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại Evà F .
- Tia AH cắt đường thẳng BC tại N .
- a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp.
- b) Chứng minh FB là phân giác của EFN.
- Cho đường tròn (O) đường kính AB.
- Trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn AB và kẻ tiếptuyến DC với đường tròn (O.
- Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đườngthẳng CD và F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống đường thẳng AC.
- Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp.
- c) Tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng .
- d) Các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt