Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa

- Khái niệm hàm lồi trong chương trình SGK cũ và mới (bài ñọc thêm) ñược ñịnh nghĩa dựa vào vị trí nằm trên, nằm dưới của tiếp tuyến với ñồ thị hàm số.
- ðó là: ta có thể ñánh giá f (x ) thông qua một biểu thức bậc nhất của x .
- Vận dụng tính chất này, ta có thể tìm ñược lời giải ñơn giản cho một số bài toán chứng minh BðT.
- ðó là lí do mà tôi chọn ñề tài “Khai thác khái niệm ñồ thị hàm số lồi, lõm ñể ñánh giá BðT” II.
- ðịnh nghĩa: Cho hàm số y = f (x ) liên tục [a.
- Khi ñó ta có hai ñiểm A(a.
- y _ y _ a _ b _ x _ x _ 1 _ a b _ ðồ thị hàm số lồi ðồ thị hàm lõm b.
- Dấu hiệu ñồ thị lồi ðịnh lí 1: Cho hàm số y = f (x ) có ñạo hàm cấp hai liên tục trên (a.
- b ) thì ñồ thị hàm số lõm trên (a.
- b ) thì ñồ thị hàm số lồi trên (a.
- Ứng dụng Từ hình ảnh trực quan của ñịnh nghĩa cho ta một phương pháp giải các bài toán BðT và cực trị sau : ðịnh lí 2: (Bất ñẳng thức tiếp tuyến) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 2 Cho hàm số y = f (x ) liên tục và có ñạo hàm ñến cấp hai trên [a;b.
- Ta có thể chứng minh ñịnh lí trên như sau i) Xét hàm số g(x.
- b ] Ta có : g '(x.
- 0 ⇔ x = x 0 và g '(x ) ñổi dấu từ − sang + khi x qua x 0 nên ta có : g(x.
- ii) Chứng minh tương tự.
- Chứng minh rằng a b c 3.
- 2 2 2 10 a +1 b +1 c +1 x Giải: Xét hàm số f (x.
- 2 x +1 1 3x Ta có: f '(x.
- 0 ∀x x + 1) (x Nên ta có: f (a.
- 3 3 3 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 3 1 1 1 f (b.
- Chứng minh 1 1 1.
- 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8b Giải : 1 Xét hàm số : f (x.
- Ta có : 1 + 8a 4 48 1 f '(x.
- 3] 8 (1 + 8x )3 (1 + 8x )5 Nên ta có : f (a.
- Nhận xét : Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là BðT cần chứng minh có dạng f (a1.
- Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 4 • Nếu BðT có dạng f (a1 ).f (a2 )...f (an.
- k thì ta lấy loganepe hai vế • Nếu BðT cần chứng minh ñồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa.
- Ta có : ln P = b ln(a + 1 + a 2.
- Xét hàm số : f (x.
- Ta có.
- Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 5 3 Giải : Áp dụng BðT Cô si, ta có : P ≥ 3 y x .y z .z x ðặt A = x y .y z .z x ⇒ ln A = y ln x + z ln y + x ln z .
- Vì hàm số f (t.
- 4 Nhận xét : Qua các ví dụ trên, ta có ñược kết quả tổng quát sau ðịnh lí 4 : Cho hàm số y = f (x ) có ñạo hàm cấp hai trên a;b.
- thì ta có.
- i =1 2π Ví dụ 8.
- Chứng minh rằng : 3 A B C tan + tan + tan ≥ 4 − 3 .
- π Hàm số f (x.
- 0 và = nên ta có : 3.
- 3 6 3 Ví dụ 9.
- 4 8 Xét hàm số f (x.
- Áp dụng BðT tiếp tuyến, ta có x ) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa f (a.
- 4 Nhận xét : Trong một số trường hợp ñồ thị hàm số y = f (x ) có khoảng lồi, lõm trên a.
- Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2(a 3 + b 3 + c 3.
- 12x 2 − 12x nên ñồ thị hàm số f có khoảng lồi và khoảng lõm do ñó ta không thể áp dụng BðT tiếp tuyến ñược.
- Vì y = 8x − 16 là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số f (x.
- x 4 − 2x 3 tại ñiểm có hoành ñộ x = 2 nên ta có sự phân tích: f ( x.
- Chứng minh rằng: 4 a b c 9.
- 10 x x + 3 Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f (x ) tại ñiểm có hoành ñộ x = là : y.
- 3 50 36x + 3 36x + 3 x (3x − 1)2 (4x + 3) 3 5 Ta có.
- Chứng minh : a b c 9.
- 1 + bc 1 + ac 1 + ab 10 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 11 Lời giải.
- Ta có : b +c 2 1−a 2 a +c 2 1−b 2 b +a 2 1−c 2 bc.
- Chứng minh rằng .
- 2 5a − 1 (3a − 1)2 (2a − 1) 1 Ta có.
- Cộng các Bñt này lại với nhau ta có: 5a − 1 5a − 1 5c − 1.
- 2 2 2 a −a b −b c −c Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 12 1 ðẳng thức xảy ra khi a = b = c.
- Cho a, b, c > 0 .
- Chứng minh rằng : (b + c − a )2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 3.
- Vì Bñt cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bñt ñúng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 .
- 2x 2 − 2x + 1 1 54x + 27 Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f (x ) tại ñiểm có hoành ñộ x = là : y = 3 25 54x + 27 2(54x 3 − 27x 2 + 1) 2(3x − 1)2 (6x + 1) Ta có.
- Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 13 Ví dụ 15: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 .
- Chứng minh rằng: 10(a 3 + b 3 + c 3.
- Xét hàm số f (x.
- Áp dụng BðT tiếp tuyến và cát tuyến ta có: f (1.
- Lời giải: Ta có : ln F = ln sin A + 2 ln sin B + 3 ln sin C π 1  π Xét hàm số f (x.
- 2 sin2 x  2 Áp dụng BðT tiếp tuyến với ∆MNP nhọn, ta có : Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 14.
- 25 5 Nhận xét : Từ cách giải trên, ta có ñược cách giải cho bài toán tổng quát sau : Cho ∆ABC nhọn.
- π Xét hàm số f (x.
- 2 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 15 Áp dụng BðT tiếp tuyến với ∆MNP nhọn, ta có : 1 f (A.
- cos P = 3k Vì M , N , P là ba góc của tam giác nên ta có ñẳng thức : cos2 M + cos2 N + cos2 P + 2 cos M .
- Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 16 Ví dụ 18: Cho x , y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 .
- Lời giải: Ta có các hàm số f (t.
- 4 1 + t 4 , t ∈ (0;1) là những hàm số có ñạo hàm cấp hai dương trên khoảng (0;1.
- Nên với a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 áp dụng BðT tiếp tuyến, ta có: f (x.
- Cho hàm số y = f (x ) liên tục và có ñạo hàm cấp hai trên (a.
- b) thì ta có.
- i =1  i =1  Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 17 với ∀xi ∈ (a.
- 0 nên áp dụng BðT tiếp tuyến, ta có.
- i =1 i =1 i =1  i =1  b) Chứng minh tương tự.
- Chứng minh rằng.
- n n BðT cần chứng minh.
- i =1 i =1 Hàm số f (x.
- ln x là hàm lồi, nên áp dụng BðT tiếp tuyến ta có: 1 f (xi.
- Cho a, b, c > 0.
- Chứng minh.
- Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≥ 3 .
- Chứng minh rằng: 1 1 1.
- Chứng minh  2 1.
- Chứng minh 2 2 sin a − 1 2 sin b − 1 2 sin c − 1 2 sin d − 1.
- cos a cos b cos c cos d Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 19 n 6.
- Chứng minh rằng A B C cos cos cos .
- Chứng minh: n a1a2 ...an ≤ n (BðT Cauchy).
- Chứng minh: (2a + b + c)2 (2b + c + a )2 (2c + a + b)2.
- Chứng minh: b +c c +a a +b a b c.
- Chứng minh : 1 1 1.
- Trong quá trình dạy học, chúng ta có thể gợi mở một số hướng phát triển từ một khái niệm Toán học cho học sinh tìm tòi và nghiên cứu.
- Việc khái thác khái niệm ñồ thị lồi lõm của ñồ thị hàm số cho chúng ta.
- Một phương pháp chứng minh BðT và giải một số dạng toán cực trị khá hiệu quả và ñơn giản.
- Dựa vào hai BðT tiếp tuyến và cát tuyến kết hợp với phương pháp cân bằng hệ số, chúng ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán BðT hay và khó.
- NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Tất Thu Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 21