- BI TOÁN CỰ ỰỰ ỰC TR C TR C TRỊỊỊỊ TRONG KHÔNG GIAN HAI CHI C TR TRONG KHÔNG GIAN HAI CHI TRONG KHÔNG GIAN HAI CHI TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀỀỀỀU UU U TTTTỪ ỪỪ Ừ KHÍA C KHÍA C KHÍA C KHÍA CẠ ẠẠ ẠNH HÌNH H NH HÌNH H NH HÌNH H NH HÌNH HỌ Ọ ỌCCCC Ọ. - Tóm tắ ắắ ắtttt: Trong bài báo này, bằng việc sử dụng phương pháp Lagrange, chúng tôi trình bày một số cách phát triển bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học trong không gian hai chiều.. - Từ khóa: Cực trị có điều kiện, phương pháp Lagrange, không gian hai chiều, cực đại cực tiểu. - Để giải quyết rất nhiều vấn đề đó, yêu cầu đặt ra cho các nhà Toán học là phải nghĩ đến bài toán cực trị. - Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng phương pháp nhân tử Lagrange trên không gian hai chiều.. - Khái niệm về hàm số nhiều biến số. - được gọi là hàm số xác định trên tập S hay f là hàm số n biến số xác định trên S. - Do đó, người ta thường gọi hàm số xác định trên tập con trong n là hàm. - Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. - Cho f là hàm số nhiều biến xác định trên tập mở U trong n và. - Ta cũng gọi gradient của hàm f tại x là vector trong không gian n được ký hiệu và xác định bởi. - Khi tính đạo hàm riêng của hàm f theo một biến nào đó thì ta xem các biến khác là hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của một biến số.. - Cực trị của hàm số nhiều biến số 2.3.1. - Khái niệm cực trị hàm số nhiều biến số. - Cho tập U mở trong n và hàm số f U. - x 0 ∈ U được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm f nếu tồn tại hình cầu mở B x r. - 0 là giá trị cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm f . - Điều kiện cần để hàm số có cực trị. - x ∈ U Nếu f đạt cực trị địa phương tại x 0 thì grad. - Cực trị có điều kiện. - Bài toán cực trị có điều kiện. - Bài toán mà ta xét trong phần trước là bài toán tìm cực trị của hàm f trên một tập điểm không có bất kì điều kiện ràng buộc nào. - Người ta gọi đó là bài toán cực trị tự do hay bài toán cực trị không điều kiện. - Tuy nhiên trong thực tế người ta thường gặp phải các bài toán tìm cực trị của một hàm f trên tập điểm thỏa mãn một số điều kiện nào đó. - Những bài toán như vậy gọi là bài toán cực trị có điều kiện.. - Một trường hợp đặc biệt, khi tập điểm là một mặt cong, thì ta có bài toán tìm cực trị của hàm f trên tập tất cả các điểm x. - x x 1 2 x n ) thỏa mãn phương trình biểu diễn mặt cong đó. - Bài toán tìm cực tiểu. - P của hàm f trên mặt cong với phương trình biểu diễn g x x. - 1 2 x n ) là hàm mục tiêu và điều kiện. - g x x x = được gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán. - x x 1 2 x n ) là một lời giải của bài toán và giả sử rằng. - tại điểm. - g x và gọi là hàm Lagrange của bài toán. - Nếu x là một lời giải của bài toán. - P và thỏa mãn điều kiện ( CQ ) thì tồn tại số thực λ sao cho. - Số λ được gọi nhân tử Lagrange đối với điểm cực trị x. - Định lý cho thấy sự tồn tại của nhân tử Lagrange chính là điều kiện cần cho tính cực trị của điểm x . - Như vậy, muốn tìm cực trị của bài toán. - P trước hết ta tìm những điểm của mặt cong g thỏa mãn điều kiện (2) với một nhân tử λ nào đó.. - Từ nguyên lý Lagrange, ta có thể thiết lập phương pháp chung để giải bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến z = f x x. - 1 2 x n ) với điều kiện rằng buộc. - Giải hệ phương trình.. - λ của hệ phương trình trên là điểm nghi ngờ có cực trị. - Tùy theo đặc tính của hàm f x x. - x x x n ) có là điểm cực trị của hàm đó hay không.. - Dưới đây ta sẽ minh họa phương pháp Lagrange bằng một cách kiểm tra điểm nghi ngờ có là điểm cực trị hay không?. - Tìm cực tiểu địa phương của hàm số f x y z. - x 2 + y 2 + z 2 trên mặt cong xác định bởi phương trình x 2 + 2 y 2 − z 2. - Khi đó, điểm cực trị cần tìm của hàm f phải thỏa mãn các điều kiện sau:. - Nếu z 0 ≠ 0 thì từ phương trình (3) ta suy ra. - x = y = Điều đó mâu thuẫn với phương trình (4). - Do đó z 0 = 0 và ta tìm được bốn điểm nghi ngờ có cực trị là. - Để tìm cực tiểu của hàm f x y z. - Tại điểm 1. - ta có số gia của hàm số là:. - phải thỏa mãn điều kiện rằng buộc của bài toán. - là điểm cực tiểu của hàm số và tính được. - PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN TỪ KHÍA CẠNH HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU. - Xuất phát từ bài toán tìm cực trị của hàm số:. - với điều kiện điểm. - có phương trình:. - Các điểm nghi ngờ cực trị là nghiệm của hệ phương trình:. - Để xác định được điểm đó có là điểm cực trị không ta xét số gia của hàm số tại điểm đó:. - thỏa mãn điều kiện ràng buộc x. - Vậy điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là:. - Phân tích bài toán. - trong không gian 2 đến gốc tọa độ O (0. - Điều kiện rằng buộc cho thấy rằng điểm M x y. - Như thế, bài toán này được hiểu rằng tìm khoảng cách ngắn nhất hoặc dài nhất từ điểm O (0. - Ta có. - Giữ nguyên hàm của bài toán. - P thay điều kiện ( CQ ) của nó bằng đường thẳng tổng quát ta nhận được.. - Bài toán 1. - Tìm cực trị của hàm số:. - ax + by = c a + b. - L x y λ = x + y + λ ax + by − c. - Các điểm nghi ngờ cực trị là nghiệm của hệ:. - L x y λ ax by c. - Giải hệ ta được điểm nghi ngờ cực trị là. - thỏa mãn điều kiện ràng buộc. - ax + by. - c nên ta có:. - Thay bài toán. - Bài toán 2. - với điều kiện rằng buộc điểm. - y nên ta có:. - Tổng hợp hai bài toán trên ta nhận được bài toán tổng quát trong không gian hai chiều.. - Bài toán 3. - Tìm cực trị của hàm số. - L x y λ = x − m + y − n + λ ax + by − c. - Giải hệ phương trình trên ta nhận được:. - Để xác định được điểm đó có là điểm cực trị không, ta xét số gia của hàm số tại điểm đó:. - thỏa mãn điều kiện ràng buộc ax + by. - c 0 nên ta có:. - trong không gian 2 đến điểm H m n. - Điều kiện ràng buộc cho thấy rằng điểm M x y. - Như thế, bài toán này được hiểu rằng tìm khoảng cách ngắn nhất hoặc dài nhất từ điểm. - Ta có:. - Bài báo khai thác một số bài toán cực trị có điều kiện từ khía cạnh hình học trong không gian hai chiều theo phương pháp nhân tử Lagrange.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt