Phương pháp số giải một số bài toán biên trong miền vô hạn

- PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TRONG MIỀN VÔ HẠN.
- Tóm tắt: Lý thuyết về các bài toán biên trong miền vô hạn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại.
- Rất nhiều bài toán cơ học và vật lý được đặt ra trong miền vô hạn như bài toán truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn, trong một dải vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển bao la.
- Để giải quyết được bài toán trên, người ta thường hạn chế xét bài toán trong miền hữu hạn.
- Khi đó một loạt vấn đề được đặt ra là xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện biên trên biên ảo như thế nào để thu được nghiệm xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền vô hạn.
- Vì vậy, việc tìm hiểu và nghiên cứu bài toán biên trong miền vô hạn là hết sức quan trọng.
- Từ khóa: Bài toán biên, miền vô hạn..
- Trong bài báo này ta quan tâm đến hai loại bài toán: Bài toán biên và bài toán có trị ban đầu.
- Mỗi loại bài toán sẽ có cách giải riêng.
- Để trình bày những khái niệm cơ bản của phương pháp sai phân, trước hết ta xét một số bài toán đơn giản đối với phương trình vi phân thường.
- Tiếp đó, mục đích của bài báo đề xuất một phương pháp hệ vô hạn đối với các bài toán dừng, phương trình parabolic trong thanh nửa vô hạn và cách cài đặt của các thuật toán đó.
- Phương pháp sai phân giải bài toán có trị ban đầu 2.1.1.
- Mô hình bài toán.
- Giả sử bài toán có nghiệm u = u(x) đủ trơn, nghĩa là nó có đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần.
- Lưới sai phân .
- Lưới sai phân.
- Đó là ý tưởng đầu tiên của phương pháp sai phân, còn gọi là phương pháp lưới.
- Hàm lưới.
- Đạo hàm lưới.
- Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt một chiều 2.2.1.
- Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt: .
- Phương trình (2.3) là phương trình Parabol và gọi phương trình (2.3) là phương trình truyền nhiệt một chiều.
- Bài toán (2.3.
- (2.5) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều kiện (2.4.
- vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.5.
- Đó là bài toán biên loại một đối với phương trình (2.3).
- Giả sử bài toán (2.3.
- Lưới sai phân và hàm lưới.
- a) Lưới sai phân.
- Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên Q T .
- gọi là tập các nút trên [a, b].
- h h h gọi là một lưới sai phân trên [a,b] .
- Lưới sai phân và hàm lưới Lưới trên [0, T] (lưới thời gian): Tập: .
- gọi là một lưới sai phân trên (0, T].
- gọi là một lưới sai phân trên [0, T].
- gọi là tập các nút biên trái.
- gọi là tập các nút biên phải.
- gọi là tập các nút ban đầu.
- chính là lưới sai phân trên Q T .
- b) Hàm lưới.
- Bài toán truyền nhiệt trong thanh vô hạn 2.3.1.
- Bài toán Cauchy.
- Đặt bài toán .
- Ta phải giải bài toán Cauchy sau: .
- Tìm hàm u ( x , t ) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt .
- thỏa mãn điều kiện.
- Giả sử bài toán đó có hai nghiệm bị chặn u 1 ,u 2 : u 1 ( x , t.
- Hiệu v  u 1  u 2 cũng thỏa mãn phương trình (2.6) và thỏa mãn điều kiện đầu 0.
- của phương trình (2.1) .
- Cho L  0 ta được v ( x 0 , t 0.
- Giải bài toán Cauchy.
- Sử dụng phương pháp tách biến.
- Ta xẽ tìm nghiệm của bài toán Cauchy dưới dạng u ( x , t.
- T ( t ) thế biểu thức đó vào phương trình (2.6) ta đi đến hai phương trình sau: .
- Nghiệm của phương trình đầu là T ( t.
- cố định đều là nghiệm riêng của phương trình (2.6).
- Khi giải bài toán hỗn hợp với các điều kiện biên bằng không, ta có .
- n Khi đó ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng chuỗi hàm.
- Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng: .
- sin (2.8) Dễ thấy hàm u ( x , t ) cho bởi (2.8) cũng là nghiệm riêng của phương trình (2.6).
- sao cho (2.8) thoả mãn điều kiện đầu (2.7) .
- Gọi u ( x , t ) là nghiệm của phương trình (2.6) thoả mãn điều kiện ban đầu u t  0.
- Phương pháp hệ vô hạn đối với các bài toán dừng.
- Trong phần này sẽ trình bày chi tiết phương pháp hệ vô hạn trên mô hình bài toán truyền nhiệt dừng trong thanh nửa vô hạn: .
- Khi f không có giá compac nhưng có dạng đặc biệt sao cho có thể tìm được nghiệm riêng của phương trình .
- điều kiện biên nhân tạo chính xác cũng có thể thiết lập được.
- Trong trường hợp tổng quát khi k, d, f chỉ thỏa mãn điều kiện (2.11) và hạn chế xét bài toán trong một khoảng hữu hạn nào đó  0, L  người ta không tìm được điều kiện chính xác tại x = L.
- Để giải quyết bài toán chúng tôi đưa vào lưới điểm cách đều  x i  ih , 0,1.
- và xét lược đồ sai phân: .
- Viết lại lược đồ sai phân (2.13) trong dạng hệ phương trình sai phân ba điểm thông thường .
- ta viết hệ (2.14) trong dạng chính tắc của hệ vô hạn như sau: .
- Vì thế điều kiện của định lý 2 được thỏa mãn và nghiệm vô hạn của (2.12) có thể tìm được bằng phương pháp cắt cụt.
- Vấn đề đặt ra là cắt cụt hệ vô hạn đến cỡ nào để thu được nghiệm gần đúng với sai số cho trước.
- Tương tự như trong trường hợp hệ phương trình sai phân ba điểm hữu hạn có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 0.
- Do đó, từ điều kiện y i  0 và từ (2.15) suy ra  i  0 khi i.
- (2.23) thì ta có đánh giá sau đối với sai số của nghiệm của hệ vô hạn (2.12) so với nghiệm của hệ cắt cụt (2.17) .
- Khi đó dễ dàng kiểm tra rằng z i thỏa mãn hệ vô hạn sau .
- Từ điều kiện (2.18) suy ra b i.
- i với mọi i = 0,1,… Do đó, theo lý thuyết hệ vô hạn ta có đánh giá z i.
- Nhận xét: Định lý trên cho phép ta trong quá trình tính các hệ số truy đuổi (2.16) xác định khi nào cắt cụt của hệ vô hạn (2.12) để đảm bảo rằng nghiệm của hệ cắt cụt sai khác so với nghiệm của hệ vô hạn không  quá cho trước.
- Xét bài toán: .
- Bài toán này có nghiệm đúng u x.
- Xây dựng hệ vô hạn (3.12) và cắt cụt nó khi định lý trên được thỏa mãn.
- Phương trình parabolic trong thanh nửa vô hạn.
- Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng kỹ thuật hệ vô hạn đã đề xuất ở mục trước cho bài toán biên-giá trị đầu cho phương trình parabolic.
- a) Đầu tiên ta xét bài toán truyền nhiệt với hệ số hằng.
- (2.26) Bài toán này có nghiệm đúng là .
- Sử dụng lược đồ sai phân ẩn thuần túy trên lưới đều với bước lưới không gian là h và bước lưới thời gian là  ta dẫn được bài toán về hệ vô hạn trên mỗi lớp thời gian j  1 .
- Để thấy được tính ưu việt của phương pháp hệ vô hạn so với phương pháp lưới tựa đều được đề xuất và ứng dụng từ năm 2001 chúng tôi đã thực hiện tính toán theo hai phương pháp: hệ vô hạn trên lưới đều và hệ hữu hạn trên lưới tựa đều i i ( 0.
- Từ các hình này ta thấy rõ ràng là kết quả tính trên lưới đều sử dụng hệ vô hạn cho kết quả tốt hơn.
- 1 tính bằng hệ vô hạn .
- 1 , sử dụng lưới tựa đều b) Bài toán ô nhiễm khí quyển dừng do một nguồn điểm có cường độ không đổi Q gây ra tại điểm (0.
- H đã được dẫn về bài toán.
- Lời giải số bài toán trên sử dụng lưới đều và hệ vô hạn đã được nghiên cứu, ở đó định lý tương tự như Định lý 4 với các giả thiết là tồn tại số N sao cho 0.
- Một điều lý thú đã được chứng minh trong [2.29] là nếu hạn chế xét bài toán ô nhiễm trong miền có độ cao hữu hạn 0  z  Z và đặt điều kiện biên nhân tạo.
- thì ta được nghiệm “già” hơn nghiệm bài toán với điều kiện biên.
- Bài báo đã đề cập đến lý thuyết về phương pháp sai phân giải bài toán biên và bài toán giá trị đầu, nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số giải một số bài toán một chiều không gian phụ thuộc hoặc không phụ thuộc thời gian, trong đó cốt lõi là cách xác định khi nào thì cắt cụt hệ vô hạn để đảm bảo thu được nghiệm gần đúng với sai số cho trước.
- Phương pháp này thể hiện ưu thế vượt trội so với phương pháp lưới tựa đều do các nhà toán học Nga mới đề xuất năm 2001 trong các bài toán phụ thuộc thời gian, đặc biệt là các bài toán truyền sóng.
- Trong khoảng thời gian ngắn, bài báo chưa thể đề cập đến nhiều thuật toán trong lý thuyết toán học tính toán cũng như nhiều dạng bài toán biên khác nhau.
- Đặng Quang Á (2007), “Phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số đối với các bài toán trong miền không giới nội”, Kỷ yếu Hội thảo Khoa học quốc gia lần III FAIR, Nha Trang

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt