Ứng Dụng Số Phức Vào Giải Toán Hình Học Phẳng (2014)

- Ứng dụng số phức vàogiải toán hình học phẳng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.
- Định nghĩa số phức.
- 3 1.2 Biểu diễn đại số của số phức.
- 5 1.3 Dạng lƣợng giác của số phức.
- Với những lý dotrên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Ứng dụng số phức vào giải toánhình học phẳng”.2.
- Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dƣỡngnăng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng.3.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức nhƣmột công cụ để giải toán hình học phẳng.Khóa luận tốt nghiệp 1 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán4.
- Cho hai cặp sốz1  (a1 , b1 ) và, z2  (a2 , b2.
- Quan hệ bằng nhau: z1  z2  a1  a2 và b1  b2 .
- Phép cộng: z  z1  z2.
- Phép nhân: z  z1.z2.
- Nếu z1  z2 và z2  z3 thì z1  z3 .
- Tính phân phối của phép cộng và phép nhân: z1. z1  z2.
- z1 z2  z1 z3 .
- Và cũng đƣa vào phép trừ, phép chia các cặp số: Phép trừ: z  z1  z2.
- a2  b2 a2  b2 Khóa luận tốt nghiệp 4 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán Tập hợp tất cả những cặp số thực với các phép tính quan hệ bằngnhau, phép cộng và phép nhân nhƣ ở trên gọi là tập hợp các số phức.
- Nhƣ vậy, cho một hệ tọa độ vuông góc trong mặt phẳng thì tập hợpcác số phức có thể đồng nhất với những điểm trên mặt phẳng này.
- 1) Ta xét một số phức đặc biệt dạng  0,1.
- Nhƣ vậy tồn tại một số phức bìnhphƣơng bằng một số thực.
- Theo truyền thống ta ký hiệu i Biểu diễn đại số của số phức Ta đã thấy rằng sự đồng nhất của số thực với tập hợp con của sốphức dạng  a,0.
- Một số phức đặc biệt i  (0,1)đƣợc gọi là đơn vị ảo.
- a  bi nên mọi số phức z ta có thểviết duy nhất dƣới dạng z  a  bi , với a, b  Một số phức viết dƣới dạng z  a  bi đƣợc gọi là dạng đại số của sốphức z .
- Mặt phẳng chứa toàn bộ số phức gọi là mặtphẳng phức.
- Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dƣới dạngbiểu diễn đại số nhƣ sau.
- ac  bd  i bc  ad  c  id  c 2  d 2 c 2  d 2 Ba công thức đầu ta dễ dàng chứng minh đƣợc từ sự biểu diễn đại sốcủa số phức.
- ac  bd  i bc  ad c2  d 2 c2  d 2 c2  d 2 Trong chứng minh trên ta có dùng công thức c  id trong quá trìnhbiến đổi và số này có mối liên hệ chặt chẽ với số phức c  id .
- Những tính chất sau đây thƣờng đƣợc dùng đối với số phức liên hợp: z + z = 2a = 2ez .
- a 2  b2Khóa luận tốt nghiệp 6 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán z1 z1 z1.z2  z1.z2 .
- z1  z2  z1  z2.
- zn lànhững số phức bất kỳ sao cho f  z1.
- zn ) 4) Một số phức z là một số thực khi và chỉ khi z  z .
- Khi đó số z là hoàn toàn ảo.1.3 Dạng lƣợng giác của số phức.
- Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biểu diễn số phứctheo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phéptoán trênsố phức: Cho hai số phức dạng đại số z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 .
- a1  a2 , b1  b2  Z1biểu diễn tọa độ của số phức z1  z2 nhƣ tổng O xcủa hai số phức đã cho.
- Hình 1.1 Do đó tổng hai số phức có thể biểu diễnhình học nhƣ cộng hai vectơ trong mặt phẳng.
- Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tƣơng ứng với một bán kính vectơOZ và ta thấy ngay OZ1  OZ 2  OZ , ta thấy khi xem số phức nhƣ lànhững điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phứcnhƣ là những vectơ trong mặt phẳng này, chính điều này mà ta áp dụngđƣợc số phức vào giải toán hình học phẳng.Khóa luận tốt nghiệp 7 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán Một số phức xác định nhƣ là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọađộ cho trƣớc.
- Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xácđịnh bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z  a  ib  0 thì số phức này ứngvới một vectơ OZ , ta ký hiệu r là độ dài bán kính này, còn  là độ lớncủa góc định hƣớng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc cóhƣớng dƣơng là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiềungƣợc chiều kim đồng hồ, góc có hƣớng âm thì ngƣợc lại).
- y Nếu điểm z nằm trên trục hoành thì số rchính là môđun của số thực tƣơng ứng, vì vậy Zcho số phức z ta cũng định nghĩa r là môđun rcủa z và ký hiệu là  z.
- Góc  đƣợc gọi là argumen của số phức và kýhiệu là arg z .
- r a 2  b2 y Nhận xét: hai số phức z và lz N(z)(với z  0 và l là số dƣơng) có argumen sai khác M(z)k2, k.
- Khi đó số phức z có thể viết z  rcos.
- Một số phức viết theo dạng trên ngƣời ta gọi là dạng lƣợng giác củasố phức.
- Cho hai số phức dƣới dạng lƣợng giác z1  r1 (cos1  i sin 1 ) và z2  r2 (cos2  i sin 2 )Ta có tính chất sau: Nếu z1 trùng z2 , thì môđun của chúng bằng nhau và argumen củachúng 1 ,2 khác nhau một số nguyên lần 2.
- Tích của hai số phức z  z1 z2  r1 (cos1  i sin 1 )r2 (cos2  i sin 2.
- Nhƣ vậy, tích z của hai số phức viết dƣới dạng lƣợng giácz  r (cos.
- z2 z2 z2 Bây giờ, dễ dàng biểu diễn hình học tích y Zcủa hai số phức: Số phức z  z1 z2 với Z2z1  r1 (cos1  i sin 1.
- là một điểm với bán O Hình 1.3 xkính vectơ r1r2 và argumen 1  2 (Hình 1.3)1.4 Công thức Moa vrơ Cho một số phức bất kỳ dƣới dạng lƣợng giác z  r (cos.
- Nhƣ ta đã thấy mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tƣơng ứng vớimột số phức.
- Quan hệ tập hợp các số phức và tập hợp các điểm trongmặt phẳng tƣơng ứng một - một.
- Số phức z gọi là nhãn của điểm Z.
- Do đó số phức có thể biểu O xdiễn hình học nhƣ là những vectơ trong mặt Hình 2.1phẳng.
- Cònhiệu z1  z2 là vectơ OZ 2  OZ1 .
- Khoảng cách d của điểm Z1 đến Z2hoặc độ dài Z1 Z 2 là d  Z1Z 2  z1  z2 .
- Vậy d là môđun của số phứcz1  z2 .
- z1  z2.
- arg z2 – arg z1 = arg z1 Trong trƣờng hợp hai tia xuất phát từ yđiểm Z 0.
- Z1 z1  z0' 2 1 1 0 Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc O x Hình 2.2theo hƣớng dƣơng của hai vectơ bất kỳ theonhãn của các số phức thì sao ? Cho hai vectơ Z1 Z 2 và U1U 2 với nhãn tạicác điểm tƣơng ứng z1 , z2 , u1 , u2 .
- Ta cần phải quay vectơ đơn vị của Z1 Z 2đi một góc  theo chiều dƣơng nghĩa là z2  z1 u  u1 (cos.
- 2 z2  z1 u2  u1 Từ đó u2  u1 z2  z1 u2  u1 u2  u1 cos.
- p u2  u1 z2  z1 z2  z1 z2  z1 p p p p Vậy góc phải tìm cos.
- z2  z1 )(u2  u1.
- z2  z1.
- 2 z2  z1 u2  u1  (2.1) sin.
- 2 z2  z1 u2  u1 Từ những đẳng thức trên suy ra vectơ Z1 Z 2 , U1U 2 vuông góc vớinhau khi và chỉ khiKhóa luận tốt nghiệp 12 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán ( z2  z1 )(u2  u1.
- 0 (2.2) Và chúng song song với nhau khi và chỉ khi ( z2  z1 )(u2  u1.
- z2  z1 ) (2.3) Nhận xét: 1) Do công thức (2.1), nếu z1 trùng u1 và z1 z2  u1u2 , thì khi biết nhãn z2 và góc  với các giá trị đặc biệt thì u2 tính đƣợc nhãn theoz2 nhƣ sau.
- 2 2 Các nhận xét trên rất có ích khi giải các bài toán hình bằng phƣơngpháp số phức.
- z2  z0 2) Ký hiệu V ( z2 , z1 , z0.
- gọi là tỷ số đơn của các số phức z1  z0z2 , z1 , z0 (viết theo thứ tự đã chỉ ra).
- 2.2 Đƣờng thẳng qua hai điểm Trong phần trƣớc ta có điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau Z0,Z1, Z2 nằm trên một đƣờng thẳng là góc giữa hai vectơ Z 0 Z1 và Z 0 Z 2bằng 0 hoặc .Khóa luận tốt nghiệp 13 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán Nói một cách khác tỷ số đơn V  z0 , z1 , z2  là một số thực.
- Do tínhchất của số phức ta có thể biểu diễn dƣới dạng nhƣ sau: z 0  z 2 z0  z 2.
- z1  z2 z1  z2 Từ đẳng thức trên ta thấy ngay, một đƣờng thẳng đi qua hai điểm Z1và Z2 là tập hợp các điểm Z sao cho z  z2 z  z2.
- z1  z2 z1  z2 hoặc là ( z1  z2 ) z.
- z1  z2 ) z.
- z1 z2  z1 z2.
- Nếu đặt B  z1  z2 và C  z1 z2  z1 z2 , thì B = z1 – z2 Suy ra Bz  Bz  C  0 , B  0.
- Vì C  z1 z2  z1 z2  C , do vậy C hoàn toàn là ảo.
- z1  z2 z  z2 Giả sử V  z, z1 , z2.
- thì z1  z2số z  z2.
- z1  z2.
- suy ra z2  z z1.
- z1  z2 .
- Hãy biểu diễn nhãn của tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giáctheo số phức tạo bởi d1, d2, d3 và nhãn của các đỉnh A1, A2, A3.2.6 Lời giải và hƣớng dẫn.
- Suy ra tỷ số V ( z0 , z1 , z2 ) z0  z2 z0  z3 Z0 Z1.
- V ( z0 , z1 , z3 ) z1  z2 z1  z3 Z 3'là một số thực.
- V ( z0 , z1 , z3 ) z1  z2 z1  z3là một số thực, hoặc làKhóa luận tốt nghiệp 27 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán z0  z2 z0  z3 z0  z2 z0  z3.
- z1  z2 z1  z3 z1  z2 z1  z3 Từ phƣơng trình trên, để một điểm Z nằm trên đƣờng tròn ngoại tiếptam giác Z1Z2Z3 là phƣơng trình sau thoả mãn z  z2 z  z3 z  z2 z  z3.
- z1  z2 z1  z3 z1  z2 z1  z3Ta có thể gọi đây là phƣơng trình đƣờng tròn xác định bởi 3 điểm Z1, Z2,Z3.
- z1  z3.
- z3 ( z1  z3.
- z2 ( z1  z2.
- z2 z3 ( z1  z3.
- z1  z2 ) z3 z2 ( z1  z2.
- Nhƣ ta đã biết, sự vuông góc hoặc song song của hai đoạn thẳngZ1Z2 và U1U2 đƣợc biểu diễn bằng công thức ( z2  z1 )(u2  u1.
- 0và ( z2  z1 )(u2  u1.
- z2  z1 ) Trong trƣờng hợp Z1, Z2, U1, U2 đều nằm trên đƣờng tròn đơn vị, thì 1 1 1 1những số liên hợp z1 , z2 , u1 , u2 có thể thay bằng.
- Khi đó z1 z2 u1 u z2  z1.
- 0 u2 u1 z2 z1 Suy ra, Z1Z2 và U1U2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi z1 z2  u1u2  0 Tƣơng tự điều kiện cần và đủ để hai đoạn trên song song là z1 z2  u1u2  Ví dụ.
- Nếu Z1Z2 và U1U2 là hai cung của đƣờng tròn đơn vị cắt nhau thìgiao điểm S của chúng cho bởi hệ z1  z2  s  z1 z2 s u1  u2  s  u1u2 ssau khi loại s ta có công thức tính nhãn s của giao điểm ( z1  z2 )u1u2  (u1  u2 ) z1 z2 s u1u2  z1 z2Do Z1Z2 và U1U2 không song song nên u1u2 – z1 z2  0.Khóa luận tốt nghiệp 31 Vũ Thị Thanh – K36A Sp Toán  Ví dụ.
- Cho Z là một số phức bất kỳ

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt