Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach

- Phạm Văn Bằng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.
- Cung Thế Anh Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi 14 giờ 00, ngày 24 tháng 11 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1.
- Thư viện Quốc gia Việt Nam DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1.
- Tổng quan về hướng nghiên cứuXét phương trình trung tính ôtônôm∂∂tF ut= BF ut+ Φutvới t ≥ 0,u0(t.
- ϕ(t) với t ∈ [−r, 0],(0.1)và dạng nửa tuyến tính∂∂tF ut= B(t)F ut+ Φ(t, ut), t ∈ I.
- (0.2)trong đó I = R+hoặc I = R, B(t) là toán tử tuyến tính (có thể khôngbị chặn) trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định.
- toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X gọi là toán tử saiphân, Φ : C → X là toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+× C → X phituyến liên tục) gọi là toán tử trễ, và utlà hàm lịch sử được xác định bởiut(θ.
- Các phương trình vi phân trung tính đónẩy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuyếchtán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể.
- Bằng cách chọn không gianvà toán tử thích hợp các phương trình đó có thể viết dưới dạng phươngtrình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọi là phươngtrình tiến hóa.
- Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các khônggian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trênnhững phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mangtính bản chất của nghiệm phương trình đó.Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình trên là nghiên cứu và đánhgiá những tính chất định tính (ổn định, không ổn định, nhị phân.
- củanghiệm các phương trình đạo hàm riêng mô tả các hệ thống kể trên khithời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học hiện đại được ưachuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lýthuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhậnđược, lý thuyết đa tạp bất biến, ...1 Đối với phương trình trung tính tuyến tính (0.1) một số kết quả nềnmóng ban đầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T.Huy năm 2003 và một số tác giả khác.
- Chúng tôi sẽ phát triển và hoànthiện các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính hóađối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa.Đối với phương trình trung tính nửa tuyến tính (0.2) chúng tôi nghiêncứu về sự tồn tại đa tạp tích phân cho nghiệm của phương trình này.
- Đặcbiệt trong trường hợp nhiễu Φ(t, φ) phụ thuộc thời gian t nên ta khôngthể hi vọng tính liên tục đều của Φ, do đó các phương pháp trước đâykhông giải quyết được.
- Gần đây, đối với phương trình vi phân có trễ (tứclà, F ut= u(t)) N.T.
- Dược đã chỉ ra kết quả về sự tồn tạiđa tạp đối với các nghiệm của phương trình đang xét.
- Các tác giả đã sửdụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ củaphương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xây dựng cấutrúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt, thuộc lớp đã biết của không gian chấpnhận được trên đó cho phép áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giảitích toán học như nguyên lí ánh xạ co, định lý hàm ẩn, ...2.
- Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu• Mục đích nghiên cứu của Luận án:Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phươngtrình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phươngtrình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứkhông ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm.Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổnđịnh đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính.• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính.Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn.3.
- Phương pháp nghiên cứu2 Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhómđể xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệmcủa phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởicác toán tử đó.Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổnđịnh, Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhómnghiệm phương trình trung tính tuyến tính.Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trìnhtrung tính nửa tuyến tính.4.
- Ý nghĩa của các kết quả của luận ánĐề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một sốtính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong khônggian Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật vàcông nghệ.Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễuphi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạoxác định, và mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phươngtrình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đốivới các nghiệm của phương trình đang xét.Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trên mangđến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vậtchất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹthuật và công nghệ.
- Cấu trúc và kết quả của luận án3 Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm, một số kháiniệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm.
- Nhắc lại về không gianhàm chấp nhận được và đa tạp ổn định đối với nghiệm của phương trìnhvi phân nửa tuyến tính.Chương 2: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phươngtrình trung tính tuyến tính.Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ, tính dương của nửa nhómnghiệm phương trình trung tính với quá khứ không ôtônômChương 4: Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm,đa tạp không ổn định và tính hút của đa tạp không ổn định của phươngtrình trung tính nửa tuyến tính.Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, đượcliệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốnbài báo (trong đó thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) vàmột công trình [4] đã được nhận đăng trên Acta Mathematica Vietnamica.(Online First)4 Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Nửa nhóm liên tục mạnhĐịnh nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0⊂ L(X) gọilà một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:(i) T (t + s.
- I toán tử đồng nhất.(iii) limt→0+T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A : D(A.
- {x ∈ X : limh→0+1h(T (h)x−x) tồn tại} gọi là toántử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0trên không gian Banach X.Định nghĩa 1.1.3 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Ba-nach X.
- C \ ρ(A) gọi là phổ của A.Định lý 1.1.4 Cho (T (t))t≥0là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ Meωt, ∀t ≥ 0.Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0ta có các tínhchất sau:(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=R∞0e−λsT (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thìλ ∈ ρ(A) và R(λ, A.
- ≤MReλ−ω, ∀Reλ > ω.Lưu ý: Công thức R(λ, A)x =R+∞0e−λsT (s)xds gọi là biểu diễn tích củagiải thức.Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộngZ+∞0e−λsT (s)xds = limt→+∞Zt0e−λsT (s)xds.1.1.1 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhómĐịnh nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại.
- 0 sao cholimt→∞etkT (t)k = 0.Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm (T (t))t≥0trên không gian Banach X đượcgọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổngtrực tiếp X = Xs⊕ Xu, các không gian con đóng Xs, Xubất biến đối với(Ts(t))t≥0sao cho hạn chế của (T (t))t≥0trên Xs, và (Tu(t))t≥0trên Xuthỏamãn điều kiện:(i) Nửa nhóm (Ts(t))t≥0là ổn định mũ đều trên Xs(ii) Nửa nhóm (Tu(t))t≥0có nghịch đảo và (Tu(−t))t≥0ổn định mũ đềutrên XuĐịnh lý 1.1.7 Cho (T (t))t≥0là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X với toán tử sinh A.
- Khi đó các khẳng định sau là tương đương.(i) (T (t))t≥0có nhị phân mũ.(ii) iR ⊂ ρ(A) và(C, 1)Pk∈ZR(iω + ik, A)x.
- limN→∞1NN−1Pn=0nPk=−nR(iω + ik, A)x hội tụvới mọi ω ∈ R và x ∈ X.6 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận đượctrên nửa đường thẳngĐịnh nghĩa 1.2.1 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận đượcnếu nó thoả mãn(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b.
- ϕ(t + τ) với mọi t ≥ 0.Hơn nữa ∃N1, N2> 0 sao cho kT+τk ≤ N1, kT−τk ≤ N2, ∀τ ∈ R+.Mệnh đề 1.2.2 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được.
- Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+) (điều này đượcthoả mãn nếu ϕ ∈ E thì Λ0σϕ và Λ00σϕ bị chặn và ta có đánh giákΛ0σϕk∞≤N11 − e−σkΛ1T+1ϕk∞và kΛ00σϕk∞≤N21 − e−σkΛ1ϕk∞(1.1)trong đó Λ1, T+1và N1, N2được xác định trong định nghĩa 1.2.1.(b) Với mọi α > 0, e−αt∈ E.(c) Với mọi b > 0, ebt/∈ E.7 1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hóaĐịnh nghĩa 1.3.1 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U(t, s))t≥s≥0trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặnmũ) nếu(i) U(t, t.
- U(t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U(t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU(t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọit ≥ s và x ∈ X.Định nghĩa 1.3.2 Một họ tiến hoá (U(t, s))t≥s≥0trên không gian BanachX được gọi là nhị phân mũ trên [0.
- nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyếntính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho(a) U(t, s)P (s.
- (U(t, s)|)−1, 0 ≤ s ≤ t,(c) kU(t, s)xk ≤ Ne−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,(d) kU(s, t)|xk ≤ Ne−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và cáchằng số N, ν được gọi là hằng số nhị phân.8 Chương 2NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNHTrong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về tính nhị phân mũcủa nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính.2.1 Phương trình trung tính tuyến tínhTrong chương này ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phươngtrình trung tính có dạng∂∂tF ut= BF ut+ Φutvới t ≥ 0,u0(t.
- ϕ(t) với t ∈ [−r, 0].(2.1)Giả thiết 2.1.1 Trên không gian Banach X và C.
- C([−r, 0], X) ta xét(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên lục mạnh (etB)t≥0trênX thỏa mãn ketBk ≤ Meω1tvới các hằng số M ≥ 1 và ω1∈ R.(ii) Toán tử sai phân F : C → X và toán tử trễ Φ : C → X tuyến tínhvà bị chặn.Định lý 2.1.2 Giả sử toán tử sai phân F có dạng F f.
- f(0) −Ψf, f ∈ Ccao cho Ψ thỏa mãn điều kiện kΨk < 1.
- (2.2)(ii) Toán tử GB,F,Φsinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0trênC.9 (iii) Phương trình (2.1) là đặt chỉnh.
- Chính xác hơn, với mỗi ϕ ∈ D(GB,F,Φ)tồn tại duy nhất một nghiệm cổ điển ut.
- ϕ) của (2.1) cho bởi ut.
- ϕ) =TB,F,Φ(t)ϕ, và với mọi dãy (ϕn)n∈N⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ϕn=0, ta có limn→∞ut.
- 0 đều trên mỗi đoạn compact.Định lý 2.1.3 Cho nửa nhóm (TB,0(t))t≥0trên C với toán tử sinh GB,0.Kí hiệu (T0(t))t≥0là hạn chế của (TB,0(t))t≥0lên không gian con C0và G0là toán tử sinh của nó.
- Khi đó, khẳng định sau được thỏa mãn.σ(TB,0(t.
- (2.3)Hệ quả 2.1.4 Nếu (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0thì nửa nhóm (TB,0(t))t≥0cũng có nhị phân mũ.Bổ đề 2.1.5 Cho toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhịphân mũ (etB)t≥0.
- Khi đó, nếu kΨk < 1, và ||Φ|| là đủ nhỏ, tồn tại một dảimở Σ chứa trục ảo và hàm Hλlà giải tích và bị chặn đều trên Σ sao choR(λ, GB,F,Φ.
- (2.4)Định lý 2.1.6 Giả sử các giả thiết của định lý 3.1.2 được thỏa mãn, vàcho toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị phân mũ(etB)t≥0.
- Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ đủ nhỏ, nửa nhóm nghiệm(TB,F,Φ(t))t≥0có nhị phân mũ.Kết luận Chương 2Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được nửa nhóm nghiệm(TB,F,Φ(t))t≥0của phương trình trung tính có nhị phân mũ với điều kiệntoán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0và chuẩn của toán tử trễ Φ đủ nhỏ.Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục côngtrình đã công bố của luận án.10 Chương 3NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QÚA KHỨKHÔNG ÔTÔNÔMXét hệ phương trình trung tính tuyến tính với quá khứ không ôtônôm∂∂tF (u(t.
- lấy giá trị trong không gian Banach X và B là toán tửđạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ là các toántử tuyến tính bị chặn từ không gian C0(R−, X) vào X, A(s) là toán tử(không bị chặn ) trên X của bài toán Cauchy lùi không ôtônômdx(t)dt= −A(t)x(t), t ≤ s ≤ 0,x(s.
- Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại một họ tiếnhóa lùi bị chặn mũ U = (U(t, s))t≤s≤0giải (3.3), tức là, nghiệm của (3.3)cho bởi x(t.
- U(t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0.3.1 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử saiphân và toán tử trễGiả thiết 3.1.1 Trên không gian Banach X và C0:= C0(R−, X) ta xét(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB)t≥0trênX thỏa mãn ketBk ≤ Meω2tvới các hằng số M ≥ 1 và ω2∈ R.(ii) Toán tử sai phân F : E → X và toán tử trễ Φ : E → X là tuyến tínhvà bị chặn.11 Định lý 3.1.2 Cho toán tử Ψ thỏa mãn kΨk ω(U).Khi đó, ta có các khẳng định sau(i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ) với mọi λ > ω1+KkΦk1−HkΨk.
- (3.4)(ii) Toán tử GB,F,Φsinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0on E.(iii) Hệ phương trình.
- (3.1) và (3.2) là đặt chỉnh.
- Precisely, với mỗi ϕ ∈D(GB,F,Φ) tồn tại nghiệm cổ điển duy nhất u(t.
- TB,F,Φ(t)ϕthỏa mãn phương trình (3.2) theo nghĩa đủ tốt, tức là, nó thỏa mãnu(t, s, ϕ.
- U(s, τ)u(t, τ, ϕ) +ZτsU(s, ξ)∂∂tu(t, ξ, ϕ)dξvới mọi t ≥ 0 ≥ τ ≥ snhư đã biết công thức biến thiên hằng số của phương trình (3.2).Hơn nữa, với mỗi dãy (ϕn)n∈N⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ϕn= 0,có mộtlimn→∞u(t.
- 0đều trên mỗi đoạn compact.Bổ đề 3.1.3 Cho họ tiến hóa lùi U ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) sinhra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0.
- Khi đó, nếu kΨk < 1/K1và ||Φ||12 đủ nhỏ, thì tồn tại một giải mở Σ chứa trục ảo và hàm Hλlà giải tích vàbị chặn đều trên Σ sao choR(λ, GB,F,Φ.
- (3.5)Định lý 3.1.4 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1.2 được thỏa mãn.
- Họtiến hóa lùi U ổn định mũ đều và (B, D(B)) là toán tử sinh của C0- nửanhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0, và chuẩn của toán tử Ψ thỏa mãn kΨk

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt