Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach

- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI——————————-PHẠM VĂN BẰNGMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTRONG KHÔNG GIAN BANACHLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI——————————-PHẠM VĂN BẰNGMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆMPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTRONG KHÔNG GIAN BANACHLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phânMã ngành: 62460103NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.
- 231.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định.
- NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNGTRÌNH TRUNG TÍNH 292.1 Phương trình trung tính tuyến tính.
- 302.3 Nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính .
- NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNGTRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM 433.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm.
- 433.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ.
- ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTRUNG TÍNH 644.1 Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tínhtrong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng.
- 644.2 Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định của phương trình trungtính.
- 774.3 Đa tạp không ổn định của phương trình trung tính.
- Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tàiVào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được coi như một trường hợpđặc biệt của phương trình sai - vi phân.Ví dụ :u00(t.
- 0,hoặc nó mô tả dưới dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n và saiphân cấp m :Ft, u(t), u(t − r1.
- f(t) với ω > 0 cố định .Nếu a0= a1= 0 thì phương trình này gọi là phương trình sai phân.
- Nó khôngchứa bất kỳ vi phân nào.Nếu a06= 0, a1= 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - viphân "có chậm" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ.
- Vì nó mô tả sựphụ thuộc vào hệ trạng thái trong quá khứ.Nếu a0= 0, a16= 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - viphân "có sớm".
- Vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trạng thái trong tương lai.4 Cuối cùng nếu a06= 0, a16= 0 thì loại phương trình sai -vi phân này, vừa"có chậm" vừa "có sớm".
- Vì vậy trong trường hợp này phương trình trên gọilà phương trình vi phân trung tính.Năm 1996 J.
- Xia [24] đã xét một mạng lưới các đường dâytruyền tải và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình sau:∂∂tF ut= a∂2∂x2F ut+ Φut.Phương trình có dạng phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phươngtrình trung tính.
- Các toán tử tuyến tính F và Φ bị chặn từ C([−r, 0], X.
- X gọilà toán tử sai phân và toán tử trễ.
- Tuy nhiên đối với các phương trình vi phân trung tính phát sinhtừ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật, như là hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu,hệ sinh thái quần thể.
- Bằng cáchchọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó có thể viết dướidạng phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọilà phương trình tiến hóa.Do đó, trong luận án này chúng tôi xét phương trình trung tính∂∂tF ut= BF ut+ Φutvới t ≥ 0,u0(t.
- ϕ(t) với t ∈ [−r, 0],(1)và phương trình dạng nửa tuyến tính∂∂tF ut= B(t)F ut+ Φ(t, ut), t ∈ I, (2)trong đó I = R+hoặc I = R, B(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn)trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định.
- C([−r, 0], X);5 toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, Φ : C → X làtoán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+× C → X phi tuyến liên tục) là toán tử trễ,và utlà hàm lịch sử được xác định bởi ut(θ.
- u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0].Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàmtổng quát, cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những bướcphát triển gần đây của Toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bảnchất của nghiệm phương trình đó.Sử dụng các phương pháp toán học hiện đại hiện nay như là lý thuyếtphổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyếtcác không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến.
- đối với phương trình (1) và (2).Với phương trình trung tính tuyến tính (1) một số kết quả nền móng banđầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T.
- Trong luận án này, chúng tôi sẽ phát triểncác kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính hóa đối vớicác phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn.Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) chúng tôi nghiên cứu về sựtồn tại đa tạp tích phân đối với nghiệm của phương trình này.
- Trong trườnghợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức là trường hợp đặc biệt của phươngtrình trên khi F ut= u(t)) đã có nhiều công trình liên quan đến sự tồn tại đatạp bất biến đối với các nghiệm của phương trình có trễ (xem với điều kiện họ (B(t))t≥0sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phânmũ, toán tử trễ phi tuyến là liên tục Lipschitz.
- Trường hợp phương trình viphân hàm trung tính trở nên phức tạp hơn khi ta lấy vi phân hàm F utthayvì u(t), hơn nữa công thức biến thiên hằng số được áp dụng cho Fut.
- Fatajou [49] đưa ra với điều kiện toán tửđạo hàm riêng B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ và toán tử trễ Φ là liêntục Lipschitz với hằng số Lipschitz nhỏ, tức là kΦ(φ.
- Φ(ψ)k ≤ qkφ − ψkCvới q đủ nhỏ.Trong trường hợp không ôtônôm như phương trình (2) (tức là B(t) vàΦ(t, φ) phụ thuộc thời gian t) và đối với phương trình phát sinh từ quá trìnhtương tác - khuyếch tán phức tạp, toán tử Φ đại diện cho nguồn vật chất(hoặc dân số) mà trong nhiều trường hợp phụ thuộc một cách phức tạp vàothời gian (xem [2], [16, Chương 11], [17.
- Các tác giả đãsử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ (xem[35]) của phương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xâydựng cấu trúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt.
- Đồng thời, việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận đượcđã mang đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm đượccông bố trong thời gian gần đây (xem Tuy nhiên sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình trung tính phituyến đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là "Một số tínhchất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach".7 2.
- Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu• Mục đích nghiên cứu của Luận án:Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phươngtrình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phươngtrình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứkhông ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm.Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổnđịnh đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính.• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính.Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn.3.
- Phương pháp nghiên cứuTrong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhómđể xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệmcủa phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởi cáctoán tử đó.Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổn định,Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệmphương trình trung tính tuyến tính.Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trìnhtrung tính nửa tuyến tính.4.
- Ý nghĩa của các kết quả của luận ánĐề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một sốtính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong không gianBanach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và côngnghệ.8 Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân (với nhiễuphi tuyến) xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xácđịnh.
- Mặt khác, nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệmcủa những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơngiản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệmcủa phương trình đang xét.Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trênmang đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổivật chất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế, trong các vấn đề của kỹthuật và công nghệ.
- nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn địnhcủa phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem .
- Các tác giả đã giải phương trình (3) bằng cáchxây dựng nửa nhóm liên tục mạnh thích hợp trên không gian C.
- Các kết quả của chúng tôi được mở rộng từ các kết quả đãbiết của các phương trình vi phân hàm có trễ (xem Hale và VerduynLunel [19], Wu [25], Engel [27] và N.T.
- Chương 3: Trong chương này, chúng tôi xét phương trình trung tínhtuyến tính với quá khứ không ôtônôm dạng∂∂tF (u(t.
- lấy giá trị trong không gian Banach X.
- Dựa trêncác điều kiện thích hợp của toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ chúngtôi chứng minh nửa nhóm nghiệm của phương trình này có nhị phânmũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U(t, s))t≤s≤0sinh bởi A(s) ổnđịnh mũ đều và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0trên X.
- Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB)t≥0, U, F và Φchúng tôi chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉra điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ.• Chương 4: Xét phương trình trung tính∂∂tF ut= B(t)F ut+ Φ(t, ut), t ∈ R+( hoặc t ∈ R), (6)10 trong đó B(t) là toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trênkhông gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định.
- Mục đích thứ nhấtcủa chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biếncho phương trình (6) khi phần tuyến tính của nó (B(t))t≥0sinh ra họtiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ trên nửa đường thẳng vớiđiều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Φ là ϕ− Lipschitz, tức làkΦ(t, φ.
- Do đó, ta chỉ ra được sự tồn tại của đatạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định cho trường hợp phần tuyếntính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyếnΦ.
- Hơn nữa, sử dụng kết quả và phương pháp đổi tỉ xích ta chứng minhsự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho nghiệm đủ tốt của phương trình(4.1) trong trường hợp phần tuyến tính có tam phân mũ với một sốđiều kiện của toán tử trễ phi tuyến Φ như trong trường hợp nhị phânmũ.Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình, được liệt kê ở"Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốn bài báo(trong đó thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) và bàibáo [4] đã được nhận đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica.Luận án đã được báo cáo tại:– Seminar "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trìnhtiến hóa" Viện nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM).11 – Seminar "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phânvà ứng dụng", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.12 Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊTrong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất củanửa nhóm liên tục mạnh, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửađường thẳng R+(xem [37.
- Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ củahọ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnhĐịnh nghĩa 1.1.1.
- Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0⊂ L(X) gọi làmột nửa nhóm liên tục mạnh nếu:(i) T (t + s.
- I toán tử đồng nhất.(iii) limt→0+T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.Định nghĩa 1.1.2.
- Toán tử A : D(A.
- Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0ta có:(i) A : D(A.
- X → X là toán tử tuyến tính;(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)vàddtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0;(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta cóRt0T (s)xds ∈ D(A);(iv) ∀t ≥ 0 ta cóT (t)x − x = AZt0T (s)xds nếu x ∈ X=Zt0T (s)Axds nếu x ∈ D(A).Định nghĩa 1.1.4.
- Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian BanachX.
- Khiđó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0ta có các tính chấtsau:(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=R∞0e−λsT (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thìλ ∈ ρ(A) và R(λ, A.
- X → X là toán tử đóng trên khônggian Banach X.
- Cho (T (t))t≥0là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X với toán tử sinh A.
- Nửa nhóm liên tục mạch (T (t))t≥0trên dàn Banach X đượcgọi là dương nếu mỗi toán tử T (t) là dương, tức là:nếu 0 ≤ f ∈ X thì 0 ≤ T(t)f17 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận đượctrên nửa đường thẳngĐịnh nghĩa 1.2.1.
- 0.Đặt B = J \A, do E là không gian hàm Banach nên |ϕ.
- Không gian Lp(R.
- Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được.
- Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trênđường thẳng.
- Cho nón K trong không gian BanachW sao cho K là bất biến với toán tử A ∈ L(W.
- Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm củaphương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y.22 1.4 Nhị phân mũ của họ tiến hoáMột trong những mối quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa phương trình vi phân tuyến tínhdxdt= A(t)x, t ∈ [0.
- x ∈ X (1.3)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cốđịnh, là tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phânmũ.
- Trong trường hợp A(t) là hàm nhận giá trị ma trận và liên tục, Perronđã tìm được sự liên hệ giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình(1.3) và các tính chất của toán tử vi phânddt−A(t) xác định trên không gianCb(R+, Rn).
- Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân.
- Levitan và Zhikov [6] đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô hạnchiều với lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng.
- t ≥ 0, là họ các toán tử tuyến tính trên khônggian Banach X.
- Họ các toán tử này đượcgọi là họ tiến hoá.Định nghĩa 1.4.2.
- Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U(t, s))t≥s≥0trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặnmũ) nếu(i) U(t, t.
- A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xácđịnh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0sinh bởi toán tử A, khi đó chúng tacó họ tiến hoá U(t, s.
- nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyếntính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho(a) U(t, s)P (s.
- Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0là bị chặn đều và liên tục mạnh.Cho (U(t, s))t≥s≥0là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếuP (t), t ≥ 0.
- Chúng ta định nghĩa hàm Green như sauG(t, τ) =(P (t)U(t, τ) nếu t > τ ≥ 0,−U(t, τ)|(I − P (τ)) nếu 0 ≤ t < τ.(1.5)Khi đó, chúng ta có đánh giá kG(t, τ)k ≤ N(1 + H)e−ν|t−τ|với t 6= τ .25 1.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính vàđa tạp ổn địnhTrong phần này, ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tínhdudt= A(t)u + f(t, u), t ∈ [0.
- u ∈ X, (1.6)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cốđịnh và f : R+× X → X là toán tử phi tuyến.
- Huy đã chỉ rađiều kiện của hàm f để phương trình (1.6) tồn tại đa tạp ổn định (xem [36]).Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay vì (1.6) chúng ta xét phươngtrình tích phânu(t.
- Tập S ⊂ R+×X được gọi là đa tạp ổn định bất biến chocác nghiệm của phương trình (1.7) nếu mỗi t ∈ R+ta có X = X0(t.
- S}.(ii) Stđồng phôi với X0(t) với mọi t ≥ 0.(iii) Mỗi x0∈ St0có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.7) trên[t0.
- x0và ess supt≥t0ku(t)k < ∞.(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.7) thoả mãnu(t0.
- Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz vàu(t) là nghiệm của phương trình (1.7) thoả mãn ess supt≥t0ku(t)k.
- Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz sao chok < 1, với k được xác định bởi công thứck :=(1 + H)N(N1kΛ1T+1ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞)1 − e−ν(1.9)27 Khi đó, mỗi ν0∈ X0(t0) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.7) trên[t0.
- Trên không gian Banach X và C.
- C([−r, 0], X) ta xétcác toán tử sau:(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB)t≥0trên Xthỏa mãn ketBk ≤ Meω1tvới các hằng số M ≥ 1 và ω1∈ R.(ii) Toán tử sai phân F : C → X và toán tử trễ Φ : C → X tuyến tính vàbị chặn.2.2 Nửa nhóm trung tínhTrong phần này ta nhắc lại những kết quả thu được trong [52] về tínhđặt chỉnh của phương trình (2.1) cũng như biểu diễn giải thức của nửa nhómnghiệm (2.1).
- Xét không gian C.
- f0với f ∈ D(Gm).Ta xét hạn chế khác của toán tử này để nhận được toán tử sinh của nửanhóm liên tục mạnh.
- Trên không gian C ta định nghĩa toán tử TB,0(t) bởi[TB,0(t)f](s) =f(s + t), s + t ≤ 0,e(t+s)Bf(0), s + t ≥ 0,với f ∈ C, t ≥ 0 và s ∈ [−r, 0].
- Hơn nữa, ta định nghĩa toán tử (GB,0, D(GB,0))như sau:D(GB,0.
- Toán tử GB,F,Φđược xác địnhGB,F,Φf.
- BF f + Φf}.(2.4)Trong [52] ta tìm điều kiện của F sao cho toán tử GB,F,Φtrở thành toántử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
- Ψf, f ∈ C, (2.5)31 với Ψ : C → X là toán tử tuyến tính bị chặn.
- Φf + Ψf0}.Ta nhắc lại định lý về đặt chỉnh của phương trình (2.1), tức là nếu toántử Ψ là "nhỏ", thì GB,F,Φsinh ra một nửa nhóm biểu diễn nghiệm phươngtrình (2.1).Với λ ∈ C ta xác định toán tử eλ: X → C bởi[eλx](t.
- (2.7)(ii) Toán tử GB,F,Φsinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0trên C.(iii) Phương trình (2.1) là đặt chỉnh.
- Toán tử tuyến tính bị chặn Ψ ∈ L(C([−r, 0], X), X) đượcgọi là không có trọng tại 0 nếu mỗi.
- TB,F,Φ(t)ϕ, trong đó nửa nhómliên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0được sinh bởi toán tử GB,F,Φ.
- 0 đều trên mỗi đoạn compact.2.3 Nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phươngtrình trung tínhSau khi có tính đặt chỉnh của phương trình (2.1), chúng ta xét tính nhịphân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0.
- Điều này sẽ được sử dụng để chứng minh tính nhị phânmũ của nửa nhóm (TB,F,Φ(t))t≥0với nhiễu nhỏ bởi toán tử trễ Φ.
- Cho nửa nhóm (TB,0(t))t≥0trên C được xác định trong Địnhnghĩa 2.2.1 với toán tử sinh GB,0.
- Cho toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhịphân mũ (etB)t≥0.
- Thật vậy, xét Mλ: C → C là toán tử tuyến tínhđược xác định bởi Mλ:= eλ(Ψ + R(λ, B)Φ).
- Với λ ∈ Σ toán tử này bị chặnvà thỏa mãnkMλk ≤ kΨk+ P kΦk < 1 nếu kΦk

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt