- TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT. - Trong bài báo này tôi sẽ bàn về phƣơng pháp số để giải phƣơng trình nhiệt với điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet. - Xấp xỉ của các đạo hàm bằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn giữ vai trò quan trọng trong phƣơng pháp số trong lĩnh vực phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt các bài toán biên.. - Việc nghiên cứu tính nhất quán và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ là cần thiết. - Vì có các tính chất này, nghiệm xấp xỉ mới đảm bảo hội tụ về nghiệm chính xác. - Phƣơng trình nhiệt, p hƣơng pháp sai phân hữu hạn, t ính vững, t ính ổn định. - Trong thực tế, n hiều vấn đề trong vật lý nhƣ phƣơng trình truyền nhiệt, phƣơng trình sóng, phƣơng trình Poisson và phƣơng trình Laplace đƣợc mô hình hóa bằng các phƣơng trình đạo hàm riêng. - Một số phƣơng trình đạo hàm riêng này có nghiệm chính xác trong những miền đặc biệt. - Nhƣng nói chung việc xác định nghiệm chính xác của các phƣơng trình đạo hàm riêng trên miền bất kỳ gặp nhiều khó khăn. - Do đó, việc nghiên cứu phƣơng pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng là rất quan trọng.. - Phƣơng pháp sai phân hữu hạn là một trong những phƣơng pháp dùng để tìm nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình vi phân. - Nghiệm xấp xỉ đƣợc tính tại các điểm lƣới của miền xác định [1].. - Bài viết này liên quan đến phƣơng pháp sai phân hữu hạn cho phƣơng trình nhiệt trong thanh vật liệu có chiều dài L , phƣơng trình có dạng nhƣ sau. - với điều kiện ban đầu. - và điều kiện biên Dirichlet. - tƣơng ứng là đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của hàm u x t. - 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN. - tƣơng tự, đối với miền của t đƣợc chia nhƣ sau. - x t i j Ta xấp xỉ đạo hàm riêng u x t t. - i j của phƣơng trình (1) nhƣ sau. - trong đó chú ý, từ điều kiện ban đầu (2) ta có. - Tƣơng tự, đối với đạo hàm riêng cấp hai u x t xx. - i j ta có xấp xỉ nhƣ sau. - và theo điều kiện Dirichlet, ta có. - Vậy ta có công thức xấp xỉ cho (1) nhƣ sau. - N t 1 ta có. - Sắp xếp lại các số hạng trong hệ phƣơng trình (14) ta đƣợc hệ tƣơng đƣơng nhƣ sau. - Hệ phƣơng trình (15) đƣợc viết lại nhƣ sau. - Vậy, ta có đƣợc u i j 1 , 1 i N 1 đƣợc tính nhƣ sau. - Hệ phƣơng trình (15) tƣơng đƣơng với phƣơng trình ma trận nhƣ sau. - Giá trị biên u 0 j 1 h t ( j 1 ) và u N j 1 k t ( j 1. - 3 HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP. - Cho ma trận vuông A n n có dạng 3 đƣờng chéo nhƣ sau. - Trị riêng và vector riêng của A tƣơng ứng nhƣ sau. - T , gọi u i j là giá trị xấp xỉ của nghiệm chính xác u x t. - x t i j , nghiệm chính xác không thỏa công thức rời rạc (12), sai số sẽ có dạng nhƣ sau. - Xấp xỉ theo công thức (12) có tính vững, nghĩa là i j sẽ hội tụ về 0 khi x và t tiến đến 0 . - theo biến t tại điểm t j , ta đƣợc. - theo biến x tại điểm x i , ta đƣợc. - với x x i 1 , ta đƣợc. - và với x x i 1 , ta đƣợc. - Từ (23) và (24) ta đƣợc. - trong đó, ta sử dụng giả thiết phƣơng trình u t. - Ta thấy rằng i j sẽ hội tụ về 0 khi x và t. - Do đó, xấp xỉ của ta có tính chất vững.. - 3.2 Tính ổn định Để thuận tiện, ta đặt r 2. - Theo bổ đề 1, ma trận (18) có trị riêng và vector riêng tƣơng ứng nhƣ sau sin 1. - Do đó, ta có. - N x 1 , ta có đƣợc. - Điều kiện hội tụ cho min dẫn đến. - với điều hiện này, (19) sẽ ổn định.. - Nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm chính xác.. - Phần này, tôi sẽ xét 2 ví dụ cho hai trƣờng hợp: đầu tiên là r thỏa điều kiện (26), và trƣờng hợp r không thỏa điều kiện (26) để ta khảo sát tính ổn định của nghiệm.. - Ta xét phƣơng trình đạo hàm riêng. - 16 , dễ dàng kiểm tra đƣợc bài toán này có nghiệm chính xác. - Mục tiêu bài toán ở đây, ta tìm giá trị xấp xỉ cho u x t. - Ta có kết quả so sánh nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại t 4 và ta chọn. - Tại t 4 , tôi so sánh giá trị của nghiệm chính xác u x. - u x với nghiệm xấp xỉ. - Khi N x càng lớn thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm chính xác xem (Hình 1).. - Khi điều kiện (26) bị vi phạm, nghiệm xấp xỉ không hội tụ về nghiệm chính xác. - Nghiệm xấp xỉ không hội tụ về nghiệm chính xác.. - Trong bài này tôi đã trình bày phƣơng pháp số để giả i phƣơng trình nhiệt bằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn. - Để đảm bảo phƣơng pháp hội tụ, tôi khảo sát tính vững và tính ổn định bằng phân tích phổ của ma trận. - Kết quả bài báo chỉ ra rằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn trong trƣờng hợp này có tính vững và tính ổn định chỉ đúng với một số cách chọn r
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt