Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 5

- 5 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011.
- Bởi định lý n.
- p 2 2 2 Pythagore ta có: S p ( f.
- Chứng minh.
- 7 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011.
- 2 Ta thác triển g thành hàm g1 liên tục trên  và tuần hoàn với chu kì 2.
- Tổ hợp (1.3) và (1.4) ta thu được P f p  Pg p  g f p.
- 2 Chứng minh.
- Kết hợp (1.5) với (1.6) ta được 9 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội P f 2  P  Sp( f.
- 2 Định lý đã được chứng minh.
- Từ Định lý 1.4.1, dãy S p ( f.
- 10 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.1 Giả sử f.
- Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều trên  và có tổng là f .
- f (t  h) Từ giả thiết suy ra  là hàm liên tục trên  và tuần hoàn với chu kì 2.
- Ta có  1 n.
- Do tính hội tụ đều ta có S liên tục trên  hơn n.
- 12 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.3 ( Riesz-Fischer).
- ak với mọi n  k và f (k.
- ak , định lý đã được chứng minh.
- Theo trên P f dz  0 nên.
- f dz  0 và định lý được chứng minh.
- Áp dụng Định lý 2.2.1 ta có.
- Từ và (2.6) ta có: D f ( z )dz  D  f ( z.
- Vì vậy D f dz  0 và định lý được chứng minh.
- Định lý 2.2.3 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Giả sử D.
- Áp dụng Định lý 2.2.2 ta được D * f dz.
- 1 Vậy định lý đã được chứng minh.
- Định lý 2.2.4 (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền đơn liên D.
- z Chứng minh.
- D( z0 ;r ) ta có f.
- D và z  z0  D .
- i) Ta có f ( z.
- 19 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 2.3.3 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra một số hữu hạn điểm z1.
- k 0 Chứng minh.
- Áp dụng Mệnh đề 2.3.2 ta có.
- j 1 Sử dụng Định lý 2.3.3 thu được: 1 f.
- z r ta có f ( z.
- 23 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Nhận xét 3.2.2 Khi f  L1 (U ) và F  P[f ] ta có thể chứng minh được.
- r 1 Định lý 3.2.3 (Lời giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị) Giả sử f : U.
- liên tục.
- Do f liên tục đều trên U nên với mọi.
- 0 với mọi số nguyên âm n thì P[f ] là hàm chỉnh hình trên U ( f (n) chỉ hệ số Fourier thứ n của f.
- Định lý 4.1.2 Giả sử f : U.
- n 0 Chứng minh.
- Với 0  r  1 và.
- ta có 2.
- Định lý 4.2.2 Giả sử f : U.
- L2 (U ) và f  P[f.
- an , n  0 và f.
- n 0 Ta có.
- an s n , n  0 và ( f.
- L2 ( U ) Từ (4.2) và (4.3) khi cho s  1 ta được  1 f ( z.
- Theo Định lý 4.2.2, tồn tại hàm.
- được gọi là có thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U nếu tồn tại hàm f và tập hữu hạn I  U sao cho f liên tục trên U \ I , chỉnh hình trên U \ I , f U  f và mọi điểm của I đều là cực điểm của f .
- ta có: 30 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định nghĩa 5.1.3 Hàm liên tục f : U.
- Ta ký hiệu A(U ) là lớp tất cả các hàm liên tục trên U và có thác triển chỉnh hình lên U .
- U ta có.
- Ta có : n.
- Lại dùng Định lý 5.2.1 ta có.
- Sau đây là điều kiện để một hàm liên tục trên U thác triển phân hình lên U .
- Định lý đã được chứng minh.
- Ta có.
- Khi đó ta có p U z F ( z ) dz  0 .
- Tm ( z ) xác định trên U sao cho Cm ( z.
- Ta có z p F  Q  0 trên U và W ( z p F  Q.
- thì tồn tại đa thức Q thỏa mãn F  Q  0 trên U và W ( F  Q.
- Ta có F  Q  0 trên U và W ( F  Q.
- Chứng minh Định lý 1.1.
- Ta có f  Q liên tục trên U , chỉnh hình trên U và ( f  Q ) U  f  Q .
- U , xét hàm liên tục F xác định trên U bởi f ( z) F ( z.
- 0, z  U và 1 F ( z.
- 39 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Như vậy với mọi đa thức Q mà F  Q  0 trên U ta có W ( F  Q.
- Ta có u , v : A.
- A  A ta có: u ( z.
- 0 trên U và W ( z m.
- 0 trên U đồng thời z m.
- Chứng minh Định lý 2.1 Điều kiện cần.
- Định lý 5.2.4-Chương 1.
- Xác định các hàm G , H trên U bởi.
- Vậy trên U ta có Pf  G  H với G , H  C  (U.
- 0 trên U và W ( z N 1.
- bằng đa thức Q ta thu được Pf  Q  0 trên U đồng thời W ( Pf  Q.
- 0 trên U và do đó Pf  G  A(U.
- Định lý 2.4 Giả sử f : U.
- thỏa mãn f  G  H trên U với G  A(U ) và H  C  (U.
- Nếu tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi cặp đa thức P, Q mà Pf  Q  0 trên U ta đều có W ( Pf  Q.
- Trên U ta có Pf  PG  PH .
- Do (2.5) ta có.
- Vậy trên U có đẳng thức  (0.
- xm f ( 2 N  m  1) và.
- AN  0  và A0  0.
- Ta có Pf  Q  0 trên U và W ( Pf  Q.
- 48 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 2.6 Điều kiện cần và đủ để hàm liên tục F : U.
- Ta có với mọi z  U thì 50 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội F H ( z.
- Vậy G liên tục trên U và G ( n.
- Từ Định lý 5.2.1-Chương 1, ta có G  A(U.
- 51 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 KẾT LUẬN Các kết quả ở trên cho chúng ta đặc trưng đơn giản để một hàm liên tục trên U thác triển phân hình lên U .
- 0 với mọi đa thức Q có bậc không vượt quá n0 , f  Q  0 trên U nhưng f không thể thác triển chỉnh hình lên U .
- Rõ ràng f liên tục trên U và không thể thác triển chỉnh hình lên U.
- 52 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Cuối cùng một câu hỏi được đặt ra là: trong Định lý 2.6 (với N  1 ) ta có thể chọn P  1 như trong Định lý 1.1 hay không ? Nói cách khác nếu f là hàm liên tục trên U và có số nguyên dương N để W ( f  Q