- ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO TÍNH CHẤT CO SUY RỘNG CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN PHỤ THUỘC THỜI GIAN CĨ CHẬM. - Trong bài báo này, chúng tơi giới thiệu bài tốn co suy rộng của hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian cĩ chậm. - Từ đĩ, chúng tơi phát triển kĩ thuật đã cĩ để chứng minh một số điều kiện mới cho tính chất co suy rộng của lớp hệ này. - Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của một số kết quả đã cĩ gần đây của các tác giả khác. - Một ví dụ được đưa ra nhằm minh họa cho kết quả đạt được.. - Từ khĩa: Co suy rộng. - phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian cĩ chậm.. - Phương trình sai phân cĩ nhiều ứng dụng trong các mơ hình tốn học và thực tế . - Các bài tốn về tính chất định tính của nghiệm của các hệ phương trình sai phân như tính chất ổn định, hút, điều khiển được, bị chặn, co… đã và đang thu hút các nhà nghiên cứu trong suốt những thập niên vừa qua (xem . - và một số tài liệu tham khảo trong các bài báo).. - Hệ phương trình sai phân cĩ tính chất co nếu. - “khoảng cách” giữa các nghiệm bất kỳ của hệ dần về khơng khi thời gian dần ra dương vơ hạn ([6]).. - Năm 1998, Lohmiller và Slotine [4] đã đưa ra một số mơ hình thực tế về cơ học chất lỏng dẫn đến việc nghiên cứu bài tốn về tính chất co của các hệ động lực. - Trong đĩ, các tác giả đã đưa ra nhiều điều kiện cho tính co của hệ phương trình sai phân thường và hệ phương trình vi phân thường. - Các kết quả này sau đĩ được ứng dụng vào một số mơ hình bài tốn điều khiển và thiết kế quan sát đối với một số hệ động lực.. - Các bài tốn về tính chất co của hệ động lực sau đĩ được tiếp tục nghiên cứu, phát triển bởi nhiều nhĩm tác giả (xem và một số tài liệu tham khảo trong đĩ). - Gần đây, bài tốn về tính chất co cho hệ phương trình sai phân phi tuyến cĩ chậm với biến rời rạc ([6]) và hệ phương trình vi phân phiếm hàm ([7]) lần lượt đã được nghiên cứu. - Trong đĩ, nhĩm tác giả đã đưa ra nhiều điều kiện đủ, tường minh cho tính chất co của hệ phương trình sai phân phi tuyến và hệ phương trình vi phân phiếm hàm. - Tuy nhiên, cĩ một số lớp hệ phương trình cĩ các nghiệm chỉ. - Do vậy, các lớp hệ này khơng áp dụng được các kết quả về tính co đã được cơng bố trong nhiều tài liệu trước đây, chẳng hạn . - Trong bài báo này, chúng tơi mở rộng khái niệm co thành khái niệm tổng quát hơn là co suy rộng, từ đĩ chúng tơi cải tiến kĩ thuật chứng minh trong [6] để chứng minh nhiều điều kiện co suy rộng của nghiệm đối với một lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian cĩ chậm, với chậm là các hàm phụ thuộc thời gian.. - Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của một số kết quả đã cĩ trước đây.. - Sau đây chúng tơi trình bày một số quy ước và kí hiệu được sử dụng trong suốt bài báo này.. - Tính chất sau đây của ma trận khơng âm được sử dụng trong phép chứng minh một trong các kết quả của bài báo:. - Điều kiện cho tính co suy rộng của hệ phƣơng trình sai phân phi tuyến cĩ chậm. - Trong mục này chúng tơi nghiên cứu điều kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian cĩ chậm dưới dạng sau. - 1, m là các hàm chậm cho trước thỏa điều kiện. - với mọi k. - Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian (2.1). - Gọi S là tập tất cả các hàm điều kiện đầu. - nghiệm này thỏa mãn điều kiện đầu. - (2.2) Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình (2.1) được gọi là co suy rộng (generalized contractive) nếu tồn tại M 0. - 0,1 sao cho. - với mọi k k 0. - 0 thì hệ (2.1) được gọi là là co (contractive). - Nhiều điều kiện cho tính chất co của các hệ phương trình sai phân đã được nghiên cứu trong [4], [6].. - Sau đây chúng tơi trình bày điều kiện cụ thể cho tính co suy rộng của hệ phương trình sai phân (2.1).. - Định lí 2.2. - Giả sử tồn tại. - n 2 m 2 sao cho. - Khi đĩ (2.1) là co suy rộng nếu tồn tại véctơ p n , p. - 1 sao cho điều kiện sao đây được thỏa mãn. - Chứng minh. - minh tồn tại M 0. - Từ điều kiện ban đầu (2.2), ta cĩ. - ta cĩ. - được xác định trong (2.5)) và. - Tiếp theo, ta cần chứng minh. - Từ (2.6), ta cĩ. - Tiếp tục, bằng phương pháp quy nạp tốn học, ta chứng minh (2.7) đúng với mọi k k 0 . - (2.8) Tiếp theo, ta chứng minh. - Thật vậy, từ và (2.8) ta cĩ. - Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta cĩ. - p Vậy hệ (2.1) là co suy rộng.. - n 2 m 2 sao cho (2.4) được thỏa mãn. - Khi đĩ, (2.1) là co suy rộng nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:. - (i) Tồn tại p n , p. - 1 sao cho. - (ii) Tồn tại một ma trận M. - M sao cho. - A k (2.11) Chứng minh. - (i) Giả sử (i) được thỏa mãn, ta cần chứng minh (2.1) là co suy rộng. - Do vậy, điều kiện (2.5) được thỏa mãn với. - Vậy theo Định lí 2.2, hệ (2.1) là co suy rộng.. - (ii) Giả sử (ii) được thỏa mãn, ta chứng minh (2.1) là co suy rộng. - Sau đây ta chứng minh (ii) kéo theo (i) và do đĩ (2.1) là co suy rộng theo chứng minh ở trên. - 0 sao cho Mp. - Khi đĩ, tồn tại. - 0,1 sao cho bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn. - Mp p p (2.14) Nhân hai vế của (2.10) bởi p và áp dụng (2.14) ta cĩ (2.9). - Vậy (i) được thỏa mãn. - Do đĩ (2.5) là co suy rộng.. - (iii) Cuối cùng, ta chứng minh nếu (iii) được thỏa mãn thì (2.1) là co suy rộng. - Theo điều kiện đầu (2.2) ta cĩ. - k Từ (2.11), ta cĩ. - (2.15) Từ (2.15), tồn tại. - 0,1 sao cho. - g k u u v v Ta cĩ. - Ta cần chứng minh. - Giả sử ta cĩ k 1. - k 1 k 0 sao cho. - Từ với 0 0,. - k ta cĩ. - Vậy (2.1) là co suy rộng.. - u v i m thì ta cĩ. - Khi đĩ hệ (2.1) là co. - Định lí được chứng minh. - (i) Trong bất đẳng thức (2.4), Khi hàm g 0 thì kết quả Định lí 2.2 và Hệ quả 2.3 trở về trường hợp đặc biệt tương ứng là Định lí 2.2 và Hệ quả 2.3 trong [6].. - (ii) Kỹ thuật chứng minh trong Định lí 2.2 [6] cần dùng tính chất tuyến tính của hệ phương trình sai phân tuyến tính (hệ chặn trên) và cần qua hai bước. - Tuy nhiên, trong chứng minh của Định lí 2.2, chúng tơi khơng dùng tính chất này và phép chứng minh khơng phải qua hai bước.. - Xét phương trình sai phân vơ hướng. - Ta thấy (2.21) là phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian cĩ dạng (2.1), với hàm. - được thỏa mãn với. - Mặt khác, ta cĩ. - Do đĩ theo Hệ quả 2.3 (iii), phương trình sai phân (2.21) là co suy rộng. - a thì (2.21) là co. - Chú ý rằng, các kết quả trong [6] khơng áp dụng được cho phương trình sai phân (2.11).. - Bài báo đã giới thiệu khái niệm co suy rộng, một khái niệm tổng quát hơn của khái niệm co.. - Bài báo cũng đã phát triển kĩ thuật trong [6] để chứng minh nhiều điều kiện cho tính co suy rộng của hệ phương trình sai phân phi tuyến cĩ chậm.. - Hướng phát triển của bài báo là nghiên cứu các điều kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình sai phân trong một số khơng gian trừu tượng, điều kiện co suy rộng của lớp hệ phương trình vi phân, vi tích phân./.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt