- Nguồn gốc phương trình sai phân. - Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng 24 2.1. - Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một. - Phương trình tuyến tính tổng quát. - Phương trình dạng y k+1 − y k = (n + 1)k n. - Phương trình dạng y k+1 = R k y k. - Định nghĩa sau đây cho ta sự liên hệ giữa dãy và phương trình sai phân.. - Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường là một quan hệ có dạng cho trước bởi phương trình (1.1).. - Chú ý rằng dịch chuyển trong các chỉ số không đổi cấp của phương trình sai phân. - y k+r ) (1.2) là một phương trình sai phân cấp n và tương đương với phương trình (1.1).. - Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân được gọi là tuyến tính nếu nó được cho dưới dạng. - Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân được gọi là phi tuyến nếu nó không tuyến tính.. - Định nghĩa 1.5 Một nghiệm của phương trình sai phân là một hàm φ(k) thỏa mãn phương trình.. - Ví dụ 1.1 Xét một số phương trình sau. - là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bậc một y k+1 − 2y k = 0,. - Thật vậy, thế φ(k) vào phương trình (1.4) thu được. - Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai. - Thật vậy, thế ϕ(k) phương trình (1.5) ta được c 1 (−1) k+1 + c 2 − c 1 (−1) k−1 − c 2 = 0.. - Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng y k thỏa mãn phương trình sai phân cấp n.. - Đây là một dãy gồm n + 1 phương trình với n hằng số c i , i = 1, 2. - 0 (1.8) Đây là một phương trình sai phân cấp n. - trong đó, từ phương trình (1.9) ta có. - =xC k (x), và đây chính là phương trình (1.10).. - Do đó, áp dụng toán tử L cho cả hai vế của phương trình (1.11) ta được LI k (φ). - Ví dụ 1.7 Giả sử phương trình vi phân sau đây:. - Cuối cùng, thay thế vế bên phải của phương trình (1.15) bằng f (y, t. - Thế vào phương trình đầu ta nhận được y k+1 − y k. - Do đó, y k phải thỏa mãn một phương trình vi phân bậc hai. - Để xác định phương trình này, ta tính y k+1 và y k+2. - Thế kết quả của phương trình (1.18) vào phương trình (1.17) ta được y k = (y k+1 − y k )k + f (y k+1 − y k. - là phương trình vi phân cấp một phi tuyến tổng quát.. - (1.19) là một phương trình sai phân cấp n. - y n−1 được cho trước thì phương trình sai phân với k = 0 xác định duy nhất y n . - Nếu y n đã xác định định, phương trình sai phân với k = 1 cho ta y n+1 . - Giả sử phương trình (1.22) thỏa mãn khi m = 0, ta tìm được. - Thật vậy, định lý đúng đối với n = 1 (theo phương trình (1.20)).. - (r − r i ) khi đó, phương trình (1.24) được viết lại. - Đây chính là kết quả trình bày trong phương trình (1.32).. - −1 y k khi đó từ phương trình (1.35). - Bây giờ, ta chứng minh công thức tổng từng phần, từ phương trình (1.28), ta có. - Định lý này suy trực tiếp từ biểu thức được cho bởi phương trình (1.36).. - Thế những kết quả này vào phương trình (1.40) được. - 0 Từ đó ta nhận được phương trình (1.39).. - Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng. - Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính của sai phân các cấp, có dạng:. - k x n là sai phân cấp k của x n , k được gọi là bậc của phương trình.. - Định nghĩa 2.3 Nếu f n ≡ 0 thì phương trình (2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất;. - Nếu f n 6= 0 thì phương trình (2.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất;. - Nếu f n ≡ 0 và a 0 6= 0, a k 6= 0, khi đó phương trình (2.2) trở thành L h x n = a 0 x n+k + a 1 x n+k−1. - a k x n = 0 (2.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số;. - a k là các hàm của n thì (2.2) là phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên.. - với biến n, thỏa mãn phương trình (2.2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2.2).. - Thay x n = Cλ n vào phương trình (2.3), ước lược cho Cλ n 6= 0 ta nhận được. - Nghiệm tổng quát x ˜ n của phương trình thuần nhất (2.3). - Nghiệm riêng x ∗ n của phương trình thuần nhất (2.2). - λ k là các nghiệm khác 1 của phương trình đặc trưng thì. - Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng đều là các nghiệm khác. - Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = β bội s thì x ∗ n = n s β n Q m (n).. - Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp một là y k+1 − p k y k = q k , (2.5) trong đó p k và q k là các hàm cho trước. - Nếu q k đồng nhất bằng 0 thì ta có phương trình thuần nhất. - Đối với các trường hợp khác thì phương trình (2.5) là phương trình không thuần nhất. - Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) có thể tìm dưới dạng hữu hạn.. - Đầu tiên ta xét phương trình thuần nhất (2.6). - Bây giờ ta xét phương trình không thuần nhất (2.5). - Do đó, một nghiệm riêng của phương trình (2.5) là. - Ví dụ 2.1 Phương trình sai phân thuần nhất với hệ số hằng có dạng như sau. - Do đó, từ phương trình (2.7) thì nghiệm là. - Ví dụ 2.2 Bây giờ, ta xét phương trình không thuần nhất y k+1 − βy k = α,. - Phương trình dạng y k+1 − y k = (n + 1)k n Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất dạng. - Xét các phương trình sau đây và các nghiệm tương ứng. - Đa thức Bernoulli B n (k) được định nghĩa là nghiệm của phương trình sai phân sau đây. - (2.17) Khai triển phương trình (2.16) thành chuỗi theo λ thì ta được. - Từ đây, ta có thể viết lại phương trình sai phân không thuần nhất như sau. - Ví dụ 2.3 Phương trình. - và phương trình (2.24) trở thành. - (m + 1)k m , (2.26) đây là phương trình sai phân xác định đối với các đa thức Bernoulli.. - nên nghiệm của phương trình y k+1 = R k y k có dạng. - Ví dụ 2.4 Phương trình. - Nghiệm của phương trình là. - Nghiệm của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng tương ứng là S k (H. - Phương trình vi phân cần giải là. - (2.33) Nghiệm chung của phương trình (2.33) là. - Hệ quả là tổng của phương trình (2.32) được cho bởi biểu thức S k. - Chúng thỏa mãn phương trình vi phân sau:. - Đặt F k = r k ta thu được phương trình đặc trưng. - nghiệm của phương trình này là r 1 = 1. - Kết quả là nghiệm chung của phương trình (2.34) là F k = C 1. - Từ phương trình (2.38), ta có F k+1. - Vì thế phương trình (2.41) có dạng như sau:. - (2.44) Thật vậy, rõ ràng phương trình (2.44) đúng với k = 1. - Thật vậy, thêm F k+1 vào 2 vế phương trình (2.44), ta có. - Phương trình này có hai nghiệm r 1,2. - Thế các biến đổi trong (2.55) vào phương trình (2.54) ta được f (x. - Giải phương trình đặc trưng: λ 2 − αλ − (α + 1. - Ví dụ 2.14 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình x n+1 = 4x n − 2. - Phương trình đặc trưng λ 2 − 5λ + 6 = 0 có hai nghiệm λ 1 = 2, λ 2 = 3.. - Ví dụ 2.15 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình x n+1 = x n − 1. - Phương trình đặc trưng λ 2 − 5λ + 6 = 0 có nghiệm λ 1 = λ 2 = 2. - Ta sử dụng định lý sau đây để tìm số hạng tổng quát của dãy Định lý 2.5 Phương trình sai phân dạng phân thức. - Áp dụng Định lý 2.5 ta nhận được dạng tuyến tính của phương trình trên là
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt