- TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH. - ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN. - Chương 2 Giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân 19 2.1. - Rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng. - Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. - Phương trình parabolic tuyến tính 1 chiều. - Phương trình parabolic tuyến tính 2 chiều. - 2.1 Mô hình đối với phương trình truyền nhiệt. - 2.5 Mô hình phương trình Laplace. - Sử dụng phương trình sai phân để giải số là một phương pháp khá phổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu mô hình toán học liên quan tới các vấn đề trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế và nhiễu lĩnh vực khác của thực tiễn, ta có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ cụ thể như trong Chương 1 tài liệu [2]. - Phương pháp này được đề xuất từ nửa cuối những năm 40 của thế kỷ trước và ngày càng khẳng định vai trò quan trọng trong giải tích ứng dụng và đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu nghiệm số của phương trình đạo hàm riêng [1, 3].. - Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan tới phương trình sai phân và áp dụng phương trình sai phân tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.. - Chương 1 là chương mở đầu, trình bày các kiến thức cơ bản nhất liên quan tới phương trình sai phân như: Định nghĩa và các tính chất của toán tử sai phân. - biến đổi z giải phương trình sai phân. - Chương 2 nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân vào việc tìm nghiệm số của phương trình đạo hàm riêng. - Ta có. - Ta sẽ sử dụng một dạng thuận tiện hơn cho phương trình sai phân này, đặt x n = x(t 0 + nh), n = 0, 1, 2. - khi đó phương trình trên có thể. - Ví dụ 1.2 Tìm nghiệm của phương trình sai phân sau. - Phương trình sai phân trên có thể viết gọn dưới dạng. - là một nghiệm của phương trình sai phân đã cho.. - Xét trường hợp miền xác định của y(t) là tập tất cả các số thực, khi đó từ phương trình. - Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm của phương trình sai phân sau. - Do đó nghiệm duy nhất của phương trình là. - Định lý 1.8 Nếu dãy {y k } bị chặn mũ thì nghiệm của phương trình sai phân cấp n là bị chặn mũ và do đó biến đổi z của nó là tồn tại.. - Giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân. - Các phương trình đạo hàm riêng là các phương trình sai phân liên quan đến các hàm của hai hoặc nhiều biến độc lập. - Chúng xuất hiện thường xuyên trong các nghiên cứu về tổ hợp và trong xấp xỉ các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân hữu hạn.. - Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu nghiệm xấp xỉ của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều (một chiều không gian). - Trên thực tế, có rất nhiều vấn đề trong khoa học vật lý và sinh học liên quan đến sự khuếch tán và phương trình nhiệt đưa ra một mô tả toán học hữu ích.. - Để thu được một phương trình sai phân thích hợp đối với phương trình (2.1), ta ký hiệu h và k là các bước lưới dương nhỏ và xác định trên lưới điểm. - Khi đó, từ các phương trình dẫn đến. - Phương trình sai phân xấp xỉ đối với (2.1) trở thành. - (2.4) Ta thấy rằng phương trình (2.4) cho phép ta tính toán giá trị của y tại (i, j + 1) nếu các giá trị của y tại (i, j), (i + 1, j) và (i − 1, j) đã biết. - Chẳng hạn, giả sử ta muốn giải phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu. - Hình 2.1: Mô hình đối với phương trình truyền nhiệt. - Khi đó, với phương trình (2.4), ta có điều kiện ban đầu. - Bắt đầu với các phần tử nằm bên dưới trục i, ta có thể tính toán mọi giá trị y(i, 1) từ phương trình (2.4) và các giá trị đầu f (i). - Tiếp theo, ta xét bài toán tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) trong góc phần tư thứ nhất {(x, t. - Do đó, một nghiệm duy nhất của phương trình (2.4) thu được bằng phương pháp lặp nếu ta có thêm điều kiện u(0, t) một cách chính xác với t ≥ 0. - Bây giờ, phương trình (2.6) có thể viết dưới dạng ma trận cỡ (N − 1. - Khi đó, phương trình (2.6) tương đương với. - Để phân tích sâu hơn về phương trình (2.7), ta sẽ tính các giá trị riêng của ma trận A. - Bằng cách viết lại phương trình sai phân trên, ta có w(t + 1. - Nghiệm của phương trình (2.7) được cho bởi. - Một cách tiếp cận khác đối với rời rạc hóa phương trình truyền nhiệt đó là xấp xỉ ∂u. - Sử dụng công thức này cùng với phương trình (2.3) trong (2.1), ta dẫn đến phương trình sai phân. - Phương trình (2.9) có mô hình được cho ở dạng như Hình 2.4. - Do đó, với cách tiếp cận này, nghiệm của phương trình (2.5) không thể được xấp xỉ bằng phương pháp lặp hiện (2.9) và ta có một phương pháp giống như là phương pháp ẩn.. - thì phương trình (2.9) cộng thêm điều kiện bổ trợ có thể viết thành B(v(j. - Phương trình sai phân có thể thu được nghiệm xấp xỉ của phương trình đạo hàm riêng bằng cách giống như việc sử dụng công thức Taylor.. - Chẳng hạn, đối với phương trình Laplace. - Hình 2.5: Mô hình phương trình Laplace. - Ta có thể rút ra phương trình sai phân 2. - Vì phương trình (2.11) có mô hình giống hình thoi như Hình 2.5 nên nó chỉ ra rằng các giá trị z(i, j) trên biên của một miền đóng như hình chữ nhật trong Hình 2.5 phải biết để tính giá trị z(i, j) trong toàn miền.. - Chúng ta đã đưa ra một nghiệm hiện của phương trình sai phân riêng với điều kiện bổ trợ bằng cách viết chúng giống như bài toán giá trị ban đầu đối với hệ các phương trình sai phân thường. - Mục này sẽ tóm tắt một số phương pháp khác để tìm nghiệm hiện của phương trình sai phân tuyến tính. - Để có ý tưởng chung một cách tự nhiên về nghiệm, trước hết ta xét phương trình tuyến tính với hai. - Phương trình cuối có thể giải bằng phương pháp lặp và có |a| nghiệm độc lập z 1. - Từ phương trình (2.12) và khẳng định phương trình là thuần nhất, ta có. - là một nghiệm của phương trình sai phân với các hằng số bất kỳ f 1. - Ví dụ 2.1 Giải phương trình. - Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm dạng y(i, j. - Phương trình với ba hoặc nhiều hơn ba thành phần có thể được giải theo cách thay (2.12) vào các trường hợp đặc biệt trong đó các hệ số thỏa mãn điều kiện tương thích. - Hàm f sẽ khử và cho ta một phương trình sai phân thường nếu các hệ số thỏa mãn điều kiện ad − bc = 0. - Trong trường hợp này, phương trình là. - đây là một dạng của phương trình (2.13) với a = d = 1 và b = c = −1.. - Đây là phương trình cấp hai và có nghiệm đặc trưng λ = q. - Để thiết lập một phương trình toán tử tương đương, ta đưa ra toán tử dịch chuyển. - Khi đó, phương trình trở thành. - Chúng ta có thể coi phương trình cuối này như là một phương trình sai phân với biến i trong đó (I + E 2 −1 ) tác động giống như một hằng số vì nó không tác động i. - Bây giờ, ta sẽ giải phương trình bằng z-biến đổi. - Áp dụng z-biến đổi vào phương trình (2.14), theo Định lý 1.11 ta có zY (z, j + 1. - Từ phương trình đầu trong (2.15) suy ra rằng y(0, j + 1. - Từ phương trình (2.15) và Bảng 3.1, ta có Y (z, k. - i + 1 j − k + 1 là nghiệm duy nhất của phương trình . - Ta có thể thu được đáp án tương tự bằng cách sử dụng kỹ thuật toán tử nếu ta chú ý rằng phương trình (2.14) là thuần nhất, hệ quả là tổng các nghiệm của (2.14) cũng là một nghiệm. - Nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số biến thiên có thể được giải bằng cách sử dụng số Sterling loại một hoặc loại hai. - của phương trình. - Từ phương trình (2.17), y(i + 1, 0. - Cũng từ phương trình (2.17), Y (0, z. - Để tìm một phương trình cho p(i, j) trong trường hợp này để số cuối cùng được rút ra là lớn nhất. - Tiếp theo, áp dụng z-biến đổi (ứng với k) vào phương trình (2.20),. - i + 1 Y (i, z), trong đó ta vừa sử dụng phương trình (2.21). - Phương trình parabolic tuyến tính 1 chiều Giới thiệu bài toán.. - Phương trình parabolic tuyến tính 2 chiều Giới thiệu bài toán. - Luận văn đã trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản liên quan tới phương trình sai phân như định nghĩa và các tính chất. - Luận văn cũng trình bày lại quá trình sử dụng phương trình sai phân để giải số tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều và hai chiều nhờ ngôn ngữ lập trình MATLAB.. - dispars.dx. - dispars.dy. - dispars.dt. - dispars.Nx. - dispars.Ny. - dispars.Nt. - F(dispars.Nx. - x = (0:dispars.dx:Lx. - t = (0:dispars.dt:Te);. - dispars.dt/2. - dispars.Nt = length(t1);. - Coeff.a(j,:,n)*dispars.dy ˆ 2/2;
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt