- Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng khi chúng có cùng tập nghiệm.. - Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.. - Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.. - Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình.. - Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương.. - Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.. - Kỹ thuật lũy thừa hai vế.. - Phép lũy thừa hai vế:. - Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. - Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.. - Bài 1: Giải các BPT sau:. - Vậy bất phương trình có tập nghiệm là. - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:. - Bài 2: Giải BPT: x 4 1 x 1 2 x (1).. - Vậy tập nghiệm: [-4;0].. - Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: 5 x 1 x 1 2 x 4 (TS (A)_ 2005).. - Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10).. - Kỹ thuật chia điều kiện.. - Kỹ thuật:. - Nếu Bài toán có điều kiện là x D mà D D 1 D 2. - D n ta có thể chia Bài toán theo n trường hợp của điều kiện:. - Trường hợp 1: x D 1 , giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm T 1. - Trường hợp 2: x D 2 , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T 2 . - Trường hợp n: x D n , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T n . - Tập nghiệm của bất phương trình là T T 1 T 2. - Bài 1: Giải BPT. - Điều kiện:. - (ii) Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là. - Với 1 x 0 thì (1) luôn đúng. - Tập nghiệm trong trường hợp này là T . - Vậy tập nghiệm của (1) là 1 . - Bài tập. - Giải BPT : x 2 3 x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4 . - Kỹ thuật khai căn.. - Giải BPT. - Với x x 1 1 x 2 luôn thỏa mãn bpt (2).. - x x bpt (2) trở thành. - Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T 2 =[1 ;2).. - KL : Tập nghiệm của (1) là T= T 1 T 2. - Chú ý : Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế... - Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa về bất phƣơng trình tích.. - Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện của bpt ta có. - Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.. - Giải BPT : x 1 3 x x 1. - Điều kiện : x 1. - x x (do x 1 3 x 2 1 0 khi x 1. - Kỹ thuật nhân chia liên hợp : 1. - Giải BPT : x x 2 x 2 8 (1). - Ta có (1. - Từ (2) ta có. - KL : BPT (1) có tập nghiệm là T. - Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : x 2 a 2 cx d x 2 b 2 . - Bài tập tương tự : Giải BPT : 3 x 1 6 x 3 x 2 14 x 8 0. - Từ đó mở rộng cho Bài toán tương tự.. - Chú ý tới các điều kiện của ẩn.. - Một số dạng toán và các Bài toán làm mẫu.. - Bài 1 :Giải BPT : 1 3. - Điều kiện. - t x BPT (1) trở thành . - Bài 2 : Giải BPT : 4. - Điều kiện : x>0.. - BPT (2) trở thành. - t kết hợp với t 2 ta được t 2. - Chú ý : Bài toán có thể mở rộng cho dạng : a f ( x. - Điều kiện : x. - Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế:. - a n 0 ta có n n a a a n n. - Với mọi a 1 , a 2. - Bài 1 : Giải BPT. - Điều kiện : 1 1. - Điều này luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện. - Bài 2 : Giải BPT. - Điều kiện: x 0. - Ta có: 2 x 2 x 1. - Kỹ thuật sử dụng tích vô hƣớng của hai vectơ.. - 2 x 2 2 x 1 >1 nên bất phương trình (1) tương đương với. - Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các Bài toán tương tự trên bằng cách lấy các vectơ. - Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá.. - Để giải bất phương trình f ( x. - Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm:. - Điều kiện: x 1 . - Ta có:. - Bài 2: Tìm m để BPT 2 x 2 2 mx 1 3 2 x 3 x (1) nghiệm đúng với mọi x 0. - Ta có . - Do x 0 nên theo BĐT Côsi ta có 1 2 2. - Ta có bảng biến thiên. - Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm đúng với mọi t 2 2 khi m. - Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số trên miền xác định.. - Khi đó ta có : f ( u ( x. - x x x kết hợp với điều kiện. - Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm.. - Tìm m để BPT sau có nghiệm duy nhất. - Điều kiện : 0 x 1. - Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì. - Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m=0.. - Bài 1 : Giải các BPT. - Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : 4 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 1 2 a . - Bài 4 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm : 4 2 x 2 x 2 4 6 x 2 6 x m. - Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:. - Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x