- BẤT ĐẲNG THỨC. - Chứng minh rằng. - Chứng minh bất đẳng thức sau. - Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 + 2. - Chứng minh rằng:. - Chứng minh. - Chứng minh rằng P = (a. - Chứng minh:. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta có 3(x 4 + y 4 + z 4. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz, ta lại có P = x 2. - Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ab + bc + ca ≤ (a + b + c) 2. - 3 , ta có. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1.. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho 20 số dương, ta có a 20 1. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến bằng nhau và bằng 1.. - Thật vậy, với k = 4 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành. - Kí hiệu vế trái là A, sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có. - Đồng bậc hóa bất đẳng thức này, ta cần chứng minh. - Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3, bài toán chứng minh xong.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. - Sử dụng đánh giá này, kết hợp với bất đẳng thức AM − GM bộ ba số, ta có S ≤ a 2 b + bc 2. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM và chú ý. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 nên giá trị nhỏ nhất của F là 6.. - Chứng minh rằng a 3. - Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên phép chứng minh hoàn tất.. - Đẳng thức xảy ra khi a = b, c = 0 hoặc các hoán vị nên giá trị nhỏ nhất của P là 2.. - Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (a − b) 2 (c 2 + ab). - Đến đây, sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta có. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b, c = 0 (và các hoán vị tương ứng).. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.. - Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có a 2 + (b + c) 2. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.. - Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta có. - nên ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán được chứng minh xong.. - Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sau: Sử dụng bất đẳng thức AM − GM bộ ba số, ta có. - Đây chính là bất đẳng thức Schur nên bài toán được chứng minh xong.. - Chứng minh rằng (a + b − c) 2. - (a + b) 2 + c 2 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức ở Bài 8.. - Do vai trò của x, y là như nhau, nên dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y. - Quay trở lại bài toán, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương x 2 y 2 − xy + 1 + 3(x + y) 2 − 3xy(x + y. - Nếu coi đây là một bất đẳng thức bậc hai theo P thì ta có. - 0, lại coi bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức bậc hai theo S, khi đó ta có. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán chứng minh xong.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3. - Chứng minh rằng x + y. - Kết hợp đánh giá trên và sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có V T · (x + y + z. - Với x ≥ y ≥ z ≥ 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = (2. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có 1. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM dễ thấy rằng a a, do đó ta cần chứng minh 3(a + b + c. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có. - Từ đó, sử dụng đánh giá trên và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc (b + c) 2 ≤ 2(b 2 + c 2. - ta có. - x = y nên để đánh giá vế trái về x, y, z thì ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho hai số. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 . - Nhìn dấu căn như thế làm ta nhớ đến ngay bất đẳng thức AM − GM. - Tuy nhiên ta không thể sử dụng bất đẳng thức AM − GM kiểu như. - Vì ta chưa biết dấu đẳng thức xảy ra khi nào. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab + bc + ca = 1, a = 7b = 7c tương đương a = 7. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0, y = z = 1 nên giá trị lớn nhất của M là 1.. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có 2 = x 2 + y 2 + z 2 ≥ y 2 + z 2 ≥ 2yz nên suy ra yz ≤ 1.. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz và điều thu được bên trên, ta có (x + y + z − xyz ) 2 = [x(1 − yz. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có (a − b) 2. - Bất đẳng thức cuối hiển hiên đúng do b là số nằm giữa hai số a và c. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có a 2. - Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta thu được. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 12. - Từ đó, kết hợp với bất đẳng thức AM − GM bộ ba số, ta có ( a 2 b + b 2 c + c 2 a. - Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz thì. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 22.. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có P ≥ 2. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = (1. - Ta có. - Ta có c. - Điều kiện cần để bất đẳng thức này đúng là f (2. - Ta có f ′ (t. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b + c = 1, a = 4b = 16c hay a = 16. - Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta thu được. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có xy = 1. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1, y = 2, z = 3.. - Chứng minh rằng 1 + a. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có a. - Do đó, ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là (a + b + c) 2. - 0 Vậy bất đẳng thức cuối luôn đúng, bài toán được chứng minh xong.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 . - Theo cách 1, ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là (a + b + c) 2. - Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 1. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 3. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( x. - Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta thu được. - Từ đó cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.