Mở rộng một số kết quả của hình học phẳng khi giải toán hình học không gian

- MỞ RỘNG MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHẲNG KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
- Trong nội dung hình học không gian, ngoài các bài toán chứng minh các tính chất đặc thù thì các bài toán chứng minh đẳng thức hình học, bất đẳng thức hình học, cực trị hình học.
- là các bài toán khó đối với học sinh, sinh viên trong quá trình học tập, trong các kì thi, đặc biệt các kì thi học sinh giỏi, Olympic Toán.
- Các dạng toán này có mối liên hệ chặt chẽ với các kết quả hình học phẳng mà học sinh, sinh viên đã được học ở bậc THCS.
- Trong bài biết này, tác giả lựa chọn một số dạng toán tiêu biểu về đẳng thức hình học trong không gian sử dụng kết quả hình học phẳng, nhằm khắc sâu và vận dụng kiến thức hình học phẳng, giúp học sinh, sinh viên nhìn nhận kết quả tổng quát khi mở rộng chiều không gian..
- Hình học phẳng, hình học không gian, đẳng thức, chứng minh, tương tự..
- Trong chương trình hình học không gian lớp 8, lớp 11 bậc phổ thông và học phần hình học sơ cấp bậc đại học, có nhiều bài toán về đẳng thức hình học, đây là những bài toán khó đối với học sinh, sinh viên, chúng có mối liên hệ chặt chẽ, mà thực ra là sự mở rộng chiều không gian (3 chiều) của hình học phẳng (2 chiều), nó cũng là việc sử dụng Tiên đề 6 của hình học không gian (Theo SGK phổ thông): "Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả hình học phẳng đều đúng"..
- Qua bài viết này, với mục đích của tác giả là vừa ôn tập, khắc sâu những kết quả hình học phẳng, vừa sử dụng chúng trong một số bài toán hình học không.
- gian, ngoài ra còn giúp người học tự tìm được các tính chất, bài toán tương tự khi mở rộng chiều không gian..
- MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Bài toán 1.
- Một đường thẳng d cắt AB, AC, AM lần lượt tại các điểm B’, C’, M’, thì ta có:.
- Chứng minh: Hình 1.
- Theo Thales ta có: AB AM 1.
- ‘'Bài toán 2.
- Gọi A’=AMBC, B’=BMAC, C’=CMAB, thì ta có:.
- Chứng minh: Hình 2.
- Ta có: BMC.
- Bài toán 3.
- Chứng minh..
- thì ta có:.
- y , thì thay y =1-x vào đẳng thức vectơ ta có:.
- Bài toán 4.
- Định lí côsin suy rộng: Cho ABC với AB=c, BC=a, CA=b và diện tích S, ta có:.
- Chứng minh.
- Từ định lí cosin cho ABC ta có:.
- Bài toán 5.
- Bài toán 6.
- Nếu không xác định được ngay d', ta có thể tìm một mp(Q) chứa d và cắt mp(P), thì d'=(P)(Q) (hình 5)..
- Chứng minh AS=2SD..
- Chứng minh AS=2SD: Kẻ CM //AB, CN //AD.
- Ta có: RPBRCM tỉ số 2.
- Nhận xét: Đây là một đẳng thức hình học dạng đơn giản, nhưng ý tưởng khá hay khi dùng phương pháp phân tích đi lên.
- Trong bài toán trên, kiến thức hình học phẳng sử dụng khá đơn giản về tam giác đồng dạng, tam giác bằng nhau và tính chất đường trung bình của tam giác được sử dụng trong từng mặt phẳng cụ thể..
- Trong khi giảng dạy ta phân tích bài toán theo kiểu phân tích đi lên:.
- Trong lập luận CNQ=DSQ (hay đồng dạng tỉ số 1), có thể thay Q là trung điểm CD bằng một tỉ số khác, ta sẽ có đẳng thức mới, đó cũng chính là bài toán tổng quát: R và Q lần lượt chia các đoạn BC và CD theo các tỉ số k và l..
- Phân tích:Trước hết ta phải dựng đúng các giao điểm của đường thẳng AN, AM với mp(SBD), là điều kiện tiên quyết để giải bài toán.
- Trong mp(SAC) ta có: ANSO=I.
- Nhận xét: Qua hai bài toán trên, mặc dù đó là các đẳng thức hình học dạng đơn giản nhất, nhưng ta thấy, điều cốt yếu là phải dựng đúng giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng (liên quan đến bài toán dựng giao tuyến hai mặt phẳng), sau đó suy luận từ các kết quả hình học phẳng trong từng mặt phẳng cụ thể để có kết quả mong muốn.
- Chứng minh đẳng thức: SA SC SB SD.
- Phân tích: Ta thấy các biểu thức ở mỗi vế nằm trong các tam giác là các mặt chéo, sau khi dựng được các giao tuyến, thì đó là kết quả đã có trong bài toán 1..
- Trong kết quả bài toán 1 thay điểm M bằng trung điểm O của các SAC và.
- SBD ta có:.
- Nhận xét: Qua bài 3, giúp người học thấy rõ việc sử dụng kết quả hình học phẳng trong không gian.
- Từ đó có thể suy luận và chứng minh các đẳng thức hình học trong không gian phức tạp hơn.
- Trong bài toán trên, ta đã sử dụng phép chiếu song song theo phương l lên đường thẳng SO.
- Học sinh, sinh viên có thể suy luận tổng quát hơn qua các bài toán sau:.
- Chứng minh đẳng thức: SA SB SC 3 SG.
- Trong các ABC, SBC, SAM ta có: AGBC=M;.
- Áp dụng kết quả bài toán 1:.
- Cộng (1) với (2) ta có: SB SC SA 2 SM 2 SM 3 SG.
- Chứng minh đẳng thức:.
- Phân tích: Đẳng thức cần chứng minh ta thấy rất tương tự.
- kết quả bài toán 2 trong hình học phẳng, do đó chúng ta sẽ qui về các tam giác theo từng tỉ số cần xác định, những tỉ số còn thiếu ta cần thêm kiến thức hình học không gian để qui về hình học phẳng.
- Cụ thể ta có:.
- Trong các mặt phẳng (ABP), (ACF), (ADE) ta có: B’=BMAP.
- Chứng minh đẳng thức: Dễ thấy CD’, PM, DC’ đồng quy tại điểm IAB..
- Áp dụng kết quả bài toán 2:.
- (2) Vì MP+MI=PI, nên cộng (1) và (2) ta có:.
- Nhận xét: Ta thấy, trong bài hình học phẳng sử dụng phương pháp diện tích, do vậy khi mở rộng không gian sang 3 chiều, ta hoàn toàn có thể dùng phương pháp thể tích, đó cũng là một cách suy luận phương pháp khi mở rộng chiều trong không gian.
- Cộng các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh..
- Cách thứ nhất áp dụng được trực tiếp kết quả hình học phẳng, hơn nữa chỉ cần.
- Các bài toán trên hoàn toàn có thể làm bằng phương pháp thể tích, coi như một cách giải khác dành cho bạn đọc..
- 1) Chứng minh:.
- Chứng minh a 2 tanA=b 2 tanB=c 2 tanC;.
- 3) Chứng minh S ABC 2  S OAB 2  S OBC 2  S OCA 2.
- Chứng minh:.
- bài toán 3..
- Dễ dàng chứng minh được OH(ABC).
- Trong các tam giác vuông OBC và AOM ta có:.
- 2) Chứng minh a 2 tanA=b 2 tanB=c 2 tanC: Gọi S là diện tích ABC.
- Áp dụng định lí cosine suy rộng bài toán 4 cho ABC ta có:.
- 2) Chứng minh S ABC 2  S OAB 2  S OBC 2  S OCA 2 (hình 13):.
- Cách 1: Ta có: BC  b 2  c 2.
- Ta có thể chứng minh như sau, để thấy sự áp dụng trực tiếp kết quả hình học phẳng trong từng mặt phẳng..
- Cách 2: Ta có: BHAC=N, CHAB=P.
- Ta đã có kết quả trong hình học phẳng cho tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với hình chiếu của nó trên cạnh huyền..
- Vậy đối với tứ diện vuông liệu ta có kết quả tương tự: Trong một tam diện vuông, bình phương diện tích một mặt vuông, bằng diện tích mặt huyền nhân diện tích hình chiếu của nó lên mặt huyền? Tức là liệu có:.
- Ta có: S OAB 2  S ABC .
- 4) Chứng minh: 2 2 2 2.
- Ta có: OX  x OA.
- Tương tự ta có: 2 2 2 2.
- Chứng minh đẳng thức.
- Sau đó dùng kết quả bài toán 2..
- Chứng minh: A'B'C'D' là hình bình hành và ta có đẳng thức: AA'+CC'=BB'+DD'..
- Dùng định lí giao tuyến để chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành.
- Dùng tính chất đường trung bình của hình thang để có đẳng thức cần chứng minh..
- Chứng minh rằng:.
- Dùng phương pháp hình học phẳng như bài toán 2, hoặc tỉ số thể tích..
- Chứng minh AB AC AD 4.
- Áp dụng kết quả bài toán 1 cho các ACD, ABA', AMN ta có:.
- Cộng ta có.
- a) Chứng minh:.
- b) Với mọi điểm I ta có:.
- Đây là mở rộng kết quả hình học phẳng trong không gian.Tham khảo qua bài toán: Cho.
- Chứng minh: S MA a.
- 0 và với mọi điểm I ta có:.
- Trong bài viết tác giả đã tổng kết một số bài toán hình học không gian sử dụng kết quả hình học phẳng, mục đích giúp người học kết nối các tính chất tương tự khi chuyển từ không gian hai chiều sang ba chiều, từ đó phát triển tư duy trong quá trình học tập và nghiên cứu hình học không gian..
- Qua thực tế giảng dạy chuyên đề trên, tôi nhận thấy học sinh và sinh viên đã làm tốt những yêu cầu đặt ra, tập dượt với với pháp tự học, tự nghiên cứu, tạo được hứng thú với môn học, đặc biệt là hình học không gian..
- Các bài toán đẳng thức trong hình học phẳng và không gian còn gắn liền với các bài toán bất đẳng thức hình học, các điểm đặc biệt trong tam giác.
- Hi vọng rằng đây là những gợi ý tốt cho học sinh, sinh viên và giáo viên khi học tập và giảng dạy hình học không gian.

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt