Bài toán biên với phương pháp bắn bội

- 1 Tổng quan về bài toán biên 1.
- 1.1 Bài toán biên.
- 1.3.1 Bài toán chứa tham số.
- 1.3.2 Bài toán biên tự do.
- 1.4 Các phương pháp giải bài toán biên.
- 1.4.1 Phương pháp bắn đơn.
- 1.4.2 Phương pháp bắn bội.
- 1.4.3 Phương pháp sai phân hữu hạn.
- 1.4.4 Phương pháp biến phân.
- 1.4.5 So sánh giữa các phương pháp.
- 2.1 Phương pháp bắn đơn.
- 2.1.1 Phương pháp bắn đơn giải bài toán biên tuyến tính.
- 2.1.2 Phương pháp bắn đơn giải bài toán biên tổng quát.
- 2.1.3 Khó khăn khi thực hiện phương pháp bắn đơn.
- 2.2 Phương pháp bắn bội.
- 3 Thử nghiệm số 44 3.1 Phương pháp bắn đơn.
- 3.1.1 Phương pháp bắn đơn giải bài toán biên tuyến tính.
- 3.1.2 Phương pháp bắn đơn giải bài toán biên tổng quát.
- 3.2 Phương pháp bắn bội.
- 3.2.1 Phương pháp bắn bội giải bài toán biên tuyến tính.
- 3.2.2 Chọn điểm chia trong phương pháp bắn bội.
- 3.2.3 Phương pháp bắn bội giải bài toán biên phi tuyến.
- Ngày nay, phương pháp bắn giải bài toán biên đã trở thành phổ biến.
- Thông thường, người ta sử dụng phương pháp bắn đơn.
- "Bài toán biên với phương pháp bắn bội"..
- Tổng quan về bài toán biên.
- Bài toán giá trị biên (bài toán biên) là bài toán tìm nghiệm y(x) của hệ n (n ≥ 1) phương trình vi phân.
- Bài toán có nghiệm tổng quát.
- 1 thì bài toán vô nghiệm..
- Giả sử bài toán biên.
- Khi đó bài toán biên đã cho có nghiệm duy nhất..
- [5] Giả sử bài toán biên.
- Khi đó, bài toán biên đã cho có nghiệm duy nhất..
- Giả sử bài toán biên tuyến tính.
- Khi đó, bài toán biên tuyến tính trên có nghiệm duy nhất..
- Ta có thể đưa về dạng bài toán biên.
- 0, bài toán này trở thành.
- đặt z = y(a), ta được bài toán.
- Khi đó ta được bài toán.
- Phương pháp này khá đơn giản và thường được sử dụng để giải bài toán biên tuyến tính.
- Để giải bài toán biên bằng phương pháp này, trước hết ta đưa về giải bài toán giá trị ban đầu.
- y(x, s) của bài toán giá trị ban đầu này phải thỏa mãn điều kiện biên.
- tức là cần giải bài toán giá trị ban đầu (1.5) với s = s (i.
- xác định theo nghiệm của các bài toán giá trị ban đầu tương ứng..
- Cuối cùng, ta giải bài toán giá trị ban đầu (1.5) và thu được nghiệm số của bài toán biên .
- kT (x)k, khi đó nghiệm Y (x) của bài toán.
- D s y(x, s) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu.
- Như vậy, trong phương pháp bắn bội, các giá trị s k = y(x k.
- x m = b được tính đồng thời bởi phương pháp lặp, với y (x) là nghiệm chính xác của bài toán biên.
- Hình 1.1: Phương pháp bắn bội..
- m − 1 bằng cách giải các bài toán giá trị ban đầu.
- Ta sẽ xem xét phương pháp biến phân thông qua bài toán biên với hàm y : [a, b.
- thì bài toán (1.33) có nghiệm duy nhất..
- β, là nghiệm của bài toán biên dạng.
- Bài toán biên này có nghiệm chính xác là (1.38) y = e −20.
- Với phương pháp bắn đơn.
- Với phương pháp bắn bội.
- Hình 1.3: Sai số của phương pháp bắn đơn..
- Hình 1.4: Sai số của phương pháp bắn bội..
- Với phương pháp biến phân.
- Với phương pháp bắn đơn, chúng tôi chia thành hai trường hợp: bài toán biên tuyến tính và bài toán biên tổng quát.
- 2.1.1 Phương pháp bắn đơn giải bài toán biên tuyến tính Bài toán biên tuyến tính là bài toán có dạng.
- Để giải bài toán này bằng phương pháp bắn đơn, trước hết ta xét hai bài toán giá trị ban đầu, đó là.
- ta giải bài toán giá trị ban đầu (2.8) với s = s (k−1.
- Hơn nữa, từ các điều kiện ban đầu của bài toán (2.8) ta có.
- Do đó, hàm w(x) thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu.
- Phương pháp bắn đơn với phép lặp Newton.
- Phương pháp bắn đơn khá hữu hiệu trong đa số các bài toán biên.
- Ta xét bài toán.
- Khi thực hiện phương pháp bắn đơn, ta cần xét bài toán giá trị ban đầu tương ứng, đó là.
- Vì thế, phương pháp bắn đơn không hội tụ được..
- Chẳng hạn với ví dụ giải bài toán biên.
- Một khó khăn khác của phương pháp bắn đơn là khi gặp bài toán có điểm kì.
- dị, xét bài toán biên thứ hai sau:.
- bằng phương pháp bắn bội..
- Phương pháp bắn bội.
- m − 1 lần lượt, giải các bài toán giá trị ban đầu.
- Chọn điểm chia trong phương pháp bắn bội.
- b), giải bài toán giá trị ban đầu y 00 = f(x, y), y(x i.
- 3.1 Phương pháp bắn đơn.
- Bài toán 3.1 .
- Giải bài toán biên y 00.
- Hình 3.1: Nghiệm số của Bài toán 3.1..
- Bài toán 3.2 .
- Giải bài toán biên y 00 = 3.
- Bài toán giá trị ban đầu tương ứng là.
- tụ của phương pháp cũng như nghiệm của bài toán.
- Bài toán 3.3 .
- Giải bài toán biên.
- Hình 3.5: Nghiệm số của Bài toán 3.3 khi m = 3..
- Bài toán 3.4 .
- 3.2.3 Phương pháp bắn bội giải bài toán biên phi tuyến Ở mục này, chúng tôi trình bày các kết quả khi giải Bài toán 3.4:.
- (chú ý rằng dydx là tham số ban đầu cho y 0 (0) và chúng tôi chỉ thử đến 4 chữ số thập phân), ngoài đoạn trên thì phương pháp bắn đơn phân kì..
- Hình 3.8: Nghiệm của Bài toán 3.4 với PP bắn đơn..
- Hình 3.9: Nghiệm của Bài toán 3.4 với PP bắn bội khi m = 10..
- Phương pháp bắn đơn tuyến tính.
- Mã giải Bài toán 3.1 như sau:.
- Phương pháp bắn đơn tổng quát.
- Mã giải Bài toán 3.2 như sau:.
- Mã giải Bài toán 3.3 như sau: