- BẤT ĐẲNG THỨC. - 1 Một số tính chất của hàm mũ và logarit 4 1.1 Hàm đơn điệu. - 5 1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và hàm logarit. - 5 1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit. - 5 1.3.2 Tính lồi, lõm của hàm số mũ và hàm logarit. - 6 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển. - 6 1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất. - đẳng thức cổ điển. - 9 2 Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit 13 2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ. - 13 2.2 Bất đẳng thức hàm logarit. - 3 Một số bài toán áp dụng 34. - 34 3.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn. - 42 3.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ phương trình 50. - Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình toán học phổ thông, song nó lại luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của học sinh. - Dạng toán về bất đẳng thức thường có mặt trong các kỳ thi tuyển sinh cao đẳng đại học, thi học sinh giỏi hay các kỳ thi Olympic. - Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. - Đặc biệt bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt là một phần chuyên đề rất hay, đóng vai trò quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi.. - Để góp phần đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về bất đẳng thức, luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt". - đưa ra một số bài toán bất đẳng thức trong lớp hàm mũ và logarit, một số bài toán áp dụng cúa bất đẳng thức siêu việt vào việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, các bài toán dãy số và giới hạn và khảo sát một số phương trình và hệ phương trình. - Luận văn "Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt". - chủ yếu là sưu tầm, nghiên cứu tài liệu và các sách tham khảo liên quan đến bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit và các bài toán ứng dụng liên quan. - Chương này trình bày một số tính chất của hàm số mũ và hàm logarit (tính đơn điệu, tính lồi lõm). - ý nghĩa của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất đẳng thức cổ điển và một số bất đẳng thức cổ điển được sử dụng trong luận văn.. - Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit.. - Chương này đưa ra các bài toán về bất đẳng thức mũ, logarit được nghiên cứu và tổng hợp trong các tài liệu tham khảo.. - Một số bài toán áp dụng.. - các bài toán áp dụng bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn, trong khảo sát phương trình và hệ phương trình.. - Một số tính chất của hàm mũ và logarit. - Cho hàm số f : R → R xác định trên tập. - Định lý 1.1. - Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a. - 0 với mọi x ∈ (a. - b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó. - b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng đó.. - Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi xuống dưới) trên tập I (a. - R nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ I (a. - Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 ta nói hàm số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I (a. - Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập I (a. - Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 ta nói hàm số f (x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên I (a. - Định lý 1.2 (Xem [1-3. - 1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số mũ và hàm logarit. - 1.3.1 Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm logarit. - Xét hàm số y = a x , a >. - 0 nên hàm số đồng biến trên R. - 0 nên hàm số nghịch biến trên R. - Xét hàm số y = log a x , a >. - 0 nên hàm số đồng biến trên (0. - 0 nên hàm số nghịch biến trên (0. - 0 với mọi 0 <. - a 6= 1 , x ∈ R do đó hàm số y = a x là hàm lồi trên R. - Tương tự, với hàm số y = log a x , a >. - 0 suy ra hàm số lõm trên (0. - 0 suy ra hàm số lồi trên (0. - 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển. - Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2. - Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1. - Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1. - Cho hàm số y = f (x) liên tục và lồi trên [a, b. - Nếu hàm số y = f (x) lõm trên [a, b] thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là. - Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Bernoulli (dạng liên tục), Xem [1. - Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. - Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Schur). - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b và c = 0 cùng các hoán vị của nó.. - 1.5 Vai trò của hàm số mũ, hàm logarit trong chứng minh các bất đẳng thức cổ điển. - Định lý 1.9 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, [1. - Sử dụng bất đẳng thức hàm mũ. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. - [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo dục.