- BẤT ĐẲNG THỨC. - 6 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển. - đẳng thức cổ điển. - 13 2.2 Bất đẳng thức hàm logarit. - Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, logarit.. - 0 ta có. - 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển. - Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2. - Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1. - Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1. - Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. - Ta có một số bất đẳng thức sau. - Định lý 1.9 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, [1. - Sử dụng bất đẳng thức hàm mũ. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α i = u i , ∀i = 1, 2. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α 1 = u 1 , α 2 = u 2 . - Ta có. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α i = u i , ∀i = 1, 2, 3 . - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α i = u i . - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α i = u i , với mọi i = 1, 2. - Các bất đẳng thức trong lớp hàm mũ, hàm logarit. - 2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ. - a x luôn thỏa mãn bất đẳng thức. - Nếu x = x 0 ta được đẳng thức.. - x) và bất đẳng thức (2.1) có dạng f (x. - ln a) 2 .a x >. - x 0 ) và bất đẳng thức (2.1) có dạng f (x. - Vậy ta thu được bất đẳng thức (2.1), đpcm.. - Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM suy rộng ta có 1 + y − z. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x 2y 2 +z 2 y 2z 2 +x 2 z 2x 2 +y 2 ≤ 1. - Theo bất đẳng thức AM - GM suy rộng. - Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau. - Theo bất đẳng thức Schur bậc 3 r ≥ p(4q − p 2. - nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4. - Dễ thấy bất đẳng thức này luôn đúng do p. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. - Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 9 ≥ a + b + c + 2 1. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. - Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có x y+z = x. - Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có. - Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x. - 0 ta có (x. - Lấy Logarit nepe 2 vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. - Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có x. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng do đó ta có bất đẳng thức phải chứng minh.. - Theo bất đẳng thức Jensen ta có. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a 1 n. - Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có na 1. - Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.. - Áp dụng bất đẳng thức Jensen. - Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có 1. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. - Suy ra bất đẳng thức đúng.. - Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có. - Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có. - 2.2 Bất đẳng thức hàm logarit. - log a x luôn thỏa mãn bất đẳng thức f (x. - x) và bất đẳng thức (2.4) có dạng f (x. - x 0 ) và bất đẳng thức (2.4) có dạng f (x. - Vậy ta thu được bất đẳng thức (2.4), đpcm.. - log a x luôn thỏa mãn bất đẳng thức. - Do đó ta thu được bất đẳng thức (2.5),đpcm.. - e t − t − 1 ta có. - Kết hợp hai trường hợp ta có bất đẳng thức cần chứng minh.. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với log 2 (xy. - Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với log 3 x 2 + log 3 y log 3 z 2. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln 2. - Theo bất đẳng thức AM - GM ta có. - Cộng theo vế (2.8) và (2.9) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. - Ta có f 0 (x. - Áp dụng bất đẳng thức Karamata ta có f (2. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM suy rộng ta có. - Ta có y(x. - Theo bất đẳng thức AM - GM. - Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có S ≥ 3 6. - Áp dụng bất đẳng thức AM - GM suy rộng ta có p x 1−x y 1−y z 1−z = x 1−x 2 y 1−y 2 z 1−z 2. - Ta có bất đẳng thức. - Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = 0 , suy ra. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 . - 3.2 Bất đẳng thức siêu việt trong dãy số và giới hạn. - n 0 ta có |a n 1 − a m 1. - 2n + 1] bất đẳng thức cuối cùng tương đương với 1. - 3.3 Bất đẳng thức siêu việt trong phương trình và hệ phương trình. - Theo bất đẳng thức Cauchy ta có. - Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 ∨ x = 0. - (2) ta có