Số học thuật toán P3

- Trong tr−ờng.
- đ−ờng cong elliptic.
- dụng vào nghiên cứu đ−ờng cong elliptic.
- Ng−ợc lại, những kết quả về đ−ờng cong.
- Wiles) bằng cách chứng minh giả thuyết Taniyama-Weil về các đ−ờng cong elliptic..
- Đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng K là tập hợp các điểm (x,y) thoả.
- đ−ợc “dạng tối thiểu” của ph−ơng trình biểu diễn đ−ờng cong.
- Đ−ờng cong elliptic với ph−ơng trình (7.1) đ−ợc thêm vào các điểm tại vô.
- Xét đ−ờng cong elliptic xác định trên tr−ờng tuỳ ý bởi ph−ơng trình y2+a1xy+a3y=x.
- 3+a2x 2+a4x+a6, (7.3) Ta có thể trang bị cho tập hợp các điểm của đ−ờng cong cấu trúc nhóm Aben cộng.
- quan trọng sau đây của các đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng thực R..
- Đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng thực.
- Trong tr−ờng hợp này, biệt thức ∆ của đ−ờng cong là ∆ =-16(4a4.
- Ta sẽ sử dụng dạng Weierstrass của đ−ờng cong.
- Điểm P của đ−ờng cong đ−ợc gọi là điểm bậc hữu hạn nếu tồn tại.
- Đ−ờng cong elliptic y2=x3-x trên tr−ờng thực.
- Đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng các số hữu tỷ.
- các đ−ờng cong trên tr−ờng số hữu tỷ.
- Đó là các đ−ờng cong cho bởi ph−ơng trình.
- Nghiên cứu đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng số hữu tỷ cũng có nghĩa là.
- Giả sử E là đ−ờng cong elliptic đã cho.
- Giả sử E là một đ−ờng cong elliptic trên Q.
- trong tr−ờng hợp r≠ 0, tồn tại vô hạn điểm hữu tỷ trên đ−ờng cong.
- Giả sử E là đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng Q.
- Đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu hạn.
- Khi nghiên cứu các đ−ờng cong elliptic, đặc biệt là các đ−ờng cong trên tr−ờng số.
- làm đó đẫn đến các đ−ờng cong trên tr−ờng hữu hạn.
- Khi “sửa” một đ−ờng cong elliptic bằng cách chuyển.
- Thật vậy, biệt thức của đ−ờng cong (khác không) có thể dồng d− 0 modulo p, và khi.
- đó, đ−ờng cong nhận đ−ợc có điểm bội trên tr−ờng hữu hạn.
- Ta nói đ−ờng cong elliptic đã cho có sửa.
- 123 Điều cần quan tâm đầu tiên khi nghiên cứu một đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu.
- Các điểm của đ−ờng cong là các cặp (x,y), x, y∈Fq thoả mãn.
- có hai điểm (x,y) và (x,-y) thuộc đ−ờng cong.
- điểm nào của đ−ờng cong ứng với giá trị x.
- Thêm điểm tại vô cùng, ta có công thức tính số điểm của đ−ờng cong trong tr−ờng.
- Định lí trên đây cho ta một −ớc l−ợng của số điểm của đ−ờng cong E trên tr−ờng Fq.
- Giả sử N là số điểm của đ−ờng cong elliptic xác định trên tr−ờng Fq..
- Một trong những ứng dụng mới nhất của đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu hạn,.
- Đ−ờng cong elliptic và hệ mật mã khoá công khai.
- Hệ mật mã khoá công khai sử dụng đ−ờng cong elliptic dựa trên độ phức tạp.
- của đ−ờng cong (nếu số nh− thế tồn tại).
- Chú ý rằng, các điểm của đ−ờng cong lập.
- Cho E là một đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu hạn Fq, P là một điểm.
- của đ−ờng cong.
- Nh− vậy, ph−ơng trình xác định đ−ờng cong có thể cho d−ới dạng Weierstrass: y2=x3+ax+b.
- Mã hoá nhờ các điểm của đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu hạn.
- Việc đầu tiên là phải chọn một đ−ờng cong elliptic E nào đó trên tr−ờng hữu hạn Fq..
- Sau đó, phải tìm cách t−ơng ứng số nguyên m với một điểm của đ−ờng cong E.
- đ−ờng cong sẽ đ−ợc trình bày ở tiết sau.
- T−ơng ứng một số m với một điểm của đ−ờng cong elliptic.
- lớn các điểm của đ−ờng cong elliptic.
- sao cho tồn tại điểm (xj,yj) trên đ−ờng cong E.
- của đ−ờng cong elliptic E.
- Mật mã khoá công khai sử dụng đ−ờng cong elliptic.
- Giả sử B,P là các điểm của đ−ờng cong elliptic E, k là một số nguyên và P=kB.
- Trong tr−ờng hợp E là đ−ờng cong trên tr−ờng.
- Tr−ớc tiên, ta chọn một đ−ờng cong elliptic E trên tr−ờng hữu hạn Fq với một điểm.
- Trong tr−ờng hợp này, các cá thể chọn chung cho mình một đ−ờng cong elliptic E.
- Ai tìm điểm Pm t−ơng ứng trên đ−ờng cong.
- Vì N là số điểm của đ−ờng cong nên NPm=0,.
- Chọn đ−ờng cong elliptic.
- đ−ờng cong cụ thể.
- Thứ hai, lấy một đ−ờng cong trên tr−ờng số hữu tỷ và “sửa” theo.
- modulo p khác nhau để thu đ−ợc các đ−ờng cong trên tr−ờng hữu hạn.
- Chọn đ−ờng cong và điểm ngẫu nhiên.
- của đ−ờng cong có thể viết d−ới dạng (7.2).
- Ta xuất phát từ một đ−ờng cong elliptic E nào đó trên tr−ờng số.
- L-hàm của đ−ờng cong elliptic 6.1.
- nào ý nghĩa của đ−ờng cong elliptic trong Hình học đại số số học.
- Có thể nói, khái niệm quan trọng nhất trong nghiên cứu đ−ờng cong elliptic là.
- Giả sử ta xét đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng số hữu tỷ Q.
- ngay t− đầu rằng, đ−ờng cong đ−ợc cho bởi ph−ơng trình với các hệ số nguyên.
- các sửa theo modulo p của đ−ờng cong đó ứng với mọi số nguyên tố p.
- Có thể tồn tại một số hữu hạn số nguyên tố p tại đó đ−ờng cong.
- Tr−ớc hết, ta xét các số nguyên tố p tại đó đ−ờng cong có.
- sửa tốt”, tức là ta có đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng Fp..
- L-hàm của đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng hữu hạn.
- Giả sử E là đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng số hữu tỷ Q, có sửa tốt tại số nguyên tố p..
- Đồng thời với việc xét E modulo p, ta có thể xét các điểm của đ−ờng cong E trên.
- Hàm Zp(T) đ−ợc gọi là Zeta-hàm của đ−ờng cong E trên tr−ờng Fp.
- Zeta-hàm của một đ−ờng cong elliptic E trên tr−ờng hữu hạn Fq là một.
- trong đó a là số tham gia trong công thức tính số điểm của đ−ờng cong E trên Fp:.
- L-hàm của đ−ờng cong trên tr−ờng số hữu tỷ Nh− vậy, với mỗi số nguyên tố p, ta có Zeta-hàm Zp(T) ứng với đ−ờng cong elliptic.
- Để nghiên cứu đ−ờng cong E trên tr−ờng số hữu tỷ, ta có thể.
- Tr−ớc tiên ta nhắc lại rằng, nhóm các điểm hữu tỷ của đ−ờng cong elliptic E là tổng.
- Số r đ−ợc gọi là hạng của đ−ờng cong.
- Nếu hạng của đ−ờng cong elliptic E bằng r thì.
- L-hàm của đ−ờng cong có không điểm cấp r tại điểm s=1.
- Trong tr−ờng hợp ng−ợc lại, đ−ờng cong E chỉ có hữu hạn điểm hữu tỷ.
- trọng nhất trong lí thuyết đ−ờng cong elliptic: giả thuyết Taniyama-Weil.
- Giả thuyết Taniyama-Weil: Nếu E là một đ−ờng cong elliptic trên tr−ờng số hữu tỷ.
- Đ−ờng cong này đ−ợc.
- Cho d−ờng cong elliptic trên tr−ờng thực y2=x3-36x và các điểm trên đ−ờng.
- Tìm bậc của điểm P=(2,3) trên đ−ờng cong y2=x3+1.
- Chứng minh rằng các đ−ờng cong elliptic sau đây có q+1 điểm trên tr−ờng Fq: 1) y2=x3-x, q≡ 3(mod 4).
- Tính số điểm của đ−ờng cong elliptic y2=x3-x trên tr−ờng F71.
- Cho đ−ờng cong y2+y=x3 trên tr−ờng F2.
- Hãy tìm Zeta-hàm của đ−ờng cong đó.
- và tính số điểm của đ−ờng cong trên mọi tr−ờng Fq với q=2 r, r=1,2,...

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt