- CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHÔNG GIAN ORLICZ. - 1 KHÔNG GIAN ORLICZ 5. - 1.1 Hàm lồi. - 1.2 Hàm Young. - 1.5 Không gian Orlicz. - 1.6 Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg. - 2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 26 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein. - 2.2 Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg. - 2.3 Công thức tính chuẩn Orlicz. - 2.4 Định lý về hàm dịch chuyển. - Orlicz và Z.W. - Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banach mà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển. - Lớp không gian này ngày sau được gọi là không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian L p và được xác định qua một hàm Young φ. - Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứng dụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng.... - Chương 1: Không gian Orlicz. - Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không gian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xây dựng chương sau.. - Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz. - Chương này là nội dung cốt lõi của luận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz và định lý về hàm dịch chuyển.. - KHÔNG GIAN ORLICZ. - Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về không gian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ở chương sau (xem . - Hàm φ : R → R được gọi là hàm lồi nếu. - Định lý 1.1. - Khi đó, hàm φ là hàm lồi nếu và chỉ nếu với mỗi đoạn con đóng [c. - b), ta có. - ở đây, ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. - Chứng minh. - Do φ là hàm lồi nên ta có φ (c 1. - Vậy ta có. - Từ đây ta có φ thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong [c. - d] và do đó φ liên tục tuyệt đối trong (a. - Vậy theo định lý Lesbesgue-Vitali cổ điển ta có. - Vì theo công thức (1.1) thì ta có. - là hàm tăng và tập điểm gián đoạn của các hàm này là không quá đếm được.. - xảy ra tại mỗi điểm liên tục của các hàm này là φ 0 ở (1.2).. - Ngược lại giả sử ta có. - Ta chứng minh φ là hàm lồi, thật vậy với c ≤ x ≤ d, ta xét dây cung L (x) nối (c, φ (c)) với (d, φ (d)) cho bởi. - Ta phải chứng minh L (x. - (1.3) Từ biểu diễn của φ, ta có. - Từ đó ta có hàm φ đã cho là lồi. - Định lý được chứng minh.. - Tiếp theo ta sẽ trình bày bất đẳng thức Jensen.. - Định lý 1.2. - Do φ là hàm lồi trên R nên theo định lý 1.1, với mỗi đoạn con đóng [a. - R ta có biểu diễn sau. - ở đây ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. - Do ϕ tăng nên ta có. - f dx rồi lấy tích phân ở (1.4) ta được Z. - 0 từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.. - Một hàm lồi φ : R → R. - được gọi là hàm Young nếu thỏa mãn các điều kiện. - Khi đó hàm φ là hàm Young liên tục.. - Do đó hàm φ là hàm Young. - Vậy φ là hàm Young liên tục trên R . - Chứng minh được hoàn thành.. - Khi đó φ là hàm Young.. - Hiển nhiên φ 1 (x) là hàm lồi liên tục trên đoạn [a. - b], do đó hàm φ cũng là hàm lồi trên R . - nên φ là hàm Young.. - và là hàm liên tục trên (0. - b), do đó φ là hàm Young liên tục trên (0. - Tiếp theo chứng ta xét đến một lớp hàm Young đặc biệt.. - Hàm φ được gọi là một N - hàm nếu φ là hàm Young liên tục thỏa mãn.. - Khi đó φ là hàm Young nhưng không phải một N - hàm.. - Trong ví dụ 1.2 ta đã chỉ ra hàm φ đã cho là một hàm Young. - Ta có với. - 0 do đó hàm Young đã cho vi phạm điều kiện thứ nhất nên nó không phải là một N - hàm. - là hàm Young. - R + là liên tục trái không giảm và nếu ϕ (x. - Xét hàm η là hàm ngược mở rộng của hàm đơn điệu ϕ được xác định như sau η (x. - Từ tính liên tục trái của ϕ, tập {t : ϕ (t) >. - Vì ϕ là hàm Borel nên η cũng vậy. - Khi đó, ψ được gọi là hàm Young liên hợp của φ. - Ta chứng minh cặp (φ, ψ) là thỏa mãn bất đẳng thức Young rồi từ đó suy ra ψ là hàm Young liên hợp của φ.. - là hàm Young, ψ là hàm được xác định ở các công thức (1.6) và (1.7) bởi φ. - Khi đó, (φ, ψ) thỏa mãn bất đẳng thức Young. - với x ≥ 0, y ≥ 0, đẳng thức xảy ra khi y = ϕ (x) hoặc x = η (y) với x ≥ 0, y ≥ 0.. - thì bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng.. - Khi đó, ta có. - Ở đó đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu y ≥ ϕ (u) nên η (v. - Bất đẳng thức được chứng minh.. - x p p là hàm Young, xác định hàm liên hợp ψ của hàm Young φ.. - [1] Hà Huy Bảng, (2003), Lý thuyết không gian Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.. - [2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm trong không gian Orlicz và Lorentz, Luận án.