- Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên. - a g mod p g g mod p. - là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. - mod q khi và chỉ khi q là số không chính phương mod p. - Giả sử p q 1 mod 4. - 1,1 mod 4 thì. - Nếu a b mod n. - Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , đều tìm được số nguyên dương n sao cho P n p. - Giả sử tồn tại số nguyên tố p 3 sao cho P n. - Suy ra 2,3,6 đều không là số chính phương mod p. - Nếu y 3 mod 4. - Suy ra y 1 mod 4. - Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, y, k, m sao cho:. - Cho số nguyên tố p 3 , p 4n 1. - Bổ đề: Với p là một số nguyên tố lẻ thì trong tập S. - A r : r S, i r mod p , i S có đúng p 1. - Giả sử a S sao cho tồn tại k S thỏa mãn: a k mod p 2. - Nếu k S 1 thì h p k S 1 và a h mod p 2. - r y 2 xp y mod p 2. - Mà p 1 mod 4. - Do p 1 mod 4. - với p là một số nguyên tố có dạng 4n 1. - Do p là một số nguyên tố có dạng 4k 1 nên với mỗi i. - i sao cho i 2 j 2 0 mod p. - với p 1 mod 4. - a) Giả sử rằng tồn tại số p nguyên tố có dạng 8k 1 sao cho. - Gọi p là một số nguyên tố chia hết gcd s , s i j. - Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho n 2 1 có ước nguyên tố lớn hơn 2n 10n. - Xét p là một số nguyên tố có dạng 8k 1. - rp 5 mod 8. - Suy ra: r 5 mod 8. - Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho P n. - đúng và cũng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho P n. - Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho. - Thật vậy giả sử tồn tại số nguyên n 1 sao cho 2 n 1 | 3 n 1 . - Vậy n 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn.. - x và số nguyên dương d sao cho:. - Khi đó tồn tại các số nguyên x , y 0 0 sao cho. - nên tồn tại số nguyên t thỏa mãn.. - Q m ax Q m mod a 2. - Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương. - Bổ đề : Cho a là một số nguyên dương không chính phương. - Khi đó tồn tại vô hạn số nguyên tố p sao cho a không là số chính phương. - Do a là một số nguyên dương không chính phương nên ta đặt. - Khi đó với mỗi số nguyên tố lẻ p mà p,a. - p là số nguyên tố, hay tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa. - m Tương tự ta có vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn:. - Do p 5 mod 8. - do p 5 mod 8. - a 2004 n là số chính phương với mọi số nguyên dương n . - Lấy số nguyên tố p N max 2004,a | i i 1,2. - Giả sử rằng tồn tại số nguyên x 0 sao cho:. - f x bx c mod p nên tập. - Dễ thấy tồn tại duy nhất các số nguyên x , x 1 2. - k 0 1 n , sao cho: k k ...k 0 1 n 1 là tích của hai số nguyên liên tiếp.. - Bổ đề: Cho p là một số nguyên tố có dạng 3k 1 . - Khi đó tồn tại số nguyên dương r sao cho p | r 2. - Chứng minh: p là một số nguyên tố có dạng 3k 1 nên p 1 mod 6. - suy ra 3 là số chính phương mod p , hay tồn tại số nguyên dương x sao cho. - r 0 1 n là các số nguyên dương thỏa mãn:. - Theo định lý thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn: a r mod p i i i. - Khi đó tồn tại vô hạn số nguyên tố p sao cho phương trình đồng dư: f x. - Cho các số nguyên dương m, n thoả mãn:. - là số nguyên. - Nếu m chẵn thì do A là số nguyên nên. - và 3m 1 0 mod 8. - mâu thuẫn với A là số nguyên.. - và 3m 2 mod 4. - suy ra tồn tại số nguyên tố p là ước của m 1 sao cho p. - số nguyên nên. - Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương a, b, c sao cho. - là một số nguyên.. - Giả sử rằng tồn tại các số nguyên dương a, b, c, n sao cho. - p 1 2 k , tồn tại các số nguyên dương a, n. - Giả sử k là số nguyên dương sao cho tồn tại các số nguyên dương. - p 1 2 k là k số nguyên tố lẻ đầu tiên. - Nếu m lẻ, ta có: 2x 2 1 0 mod 5. - Suy ra: x 2 2 mod 5. - Vậy không tồn tại số nguyên dương k thỏa mãn bài toán.. - Cho số nguyên dương a . - Xét dãy số nguyên. - đều là số nguyên tố.. - y 1 2 k đều là số nguyên tố. - x 1 2 k cũng là số nguyên tố. - Nói riêng y 3 là số nguyên tố nên theo trên ta có: a 3 mà a x 1 nguyên tố nên a lẻ, suy ra x n 3 mod 4 n. - Ta có: x 2 3 mod 4 , x. - 1 mod 4 , u 2 mod 4 k. - Do p n 3 mod 8. - Do đó tồn tại 2 dãy vô hạn các số nguyên dương. - Cho p là một số nguyên tố lẻ và đặt. - b) Chứng minh rằng nếu p 5 mod 8 thì f x. - (Với p là một số nguyên tố lẻ thì trong tập S. - Nếu p 1 mod 4. - Nếu p 3 mod 4. - Giả sử rằng p 5 mod 8. - Mặt khác do p 5 mod 8. - Vậy nếu p 5 mod 8 thì f x. - Cho n,a là các số nguyên dương.. - chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , nếu p là một ước nguyên tố của x n thì p 1 mod 2 n 2. - 2 n 1 2 n 1 là số nguyên tố.. - a , b n n là dãy các số nguyên dương thỏa mãn: