- LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. - 1 Lược đồ sai phân khác thường 8. - 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính. - 1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học. - 1.4 Lược đồ sai phân chính xác. - 1.5 Lược đồ sai phân khác thường. - 2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 44 2.1 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa không địa phương. - 2.1.2 Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu. - 2.1.3 Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường. - 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai. - 2.2 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động. - 2.2.2 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường. - 2.3 Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái chuẩn hóa mẫu số. - 3 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 72 3.1 Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều. - 3.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai. - 3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai . - 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera. - Việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân là một trong những vấn đề quan trọng của Toán học nói chung và Toán học tính toán nói riêng. - Do nhu cầu của thực tiễn và sự phát triển của lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều những phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân.. - Một trong những kỹ thuật truyền thống được sử dụng rộng rãi trong việc giải gần đúng phương trình vi phân, đặc biệt là các phương trình vi phân đạo hàm riêng là sử dụng các lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme). - Các lược đồ sai phân bình thường được xây dựng dựa trên việc rời rạc hóa các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân bằng các công thức sai phân. - Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp hạn chế của các lược đồ sai phân bình thường là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng. - Hiện tượng nghiệm của phương trình sai phân (thu được từ các lược đồ sai phân) không phản ánh chính xác, hay chính xác hơn là không bảo toàn được các tính chất của nghiệm của phương trình vi phân tương ứng được gọi chung là hiện tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16]).. - Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số x 0 (t. - Nếu sử dụng các lược đồ sai phân bình thường như các lược đồ thu được từ phương. - Các phân tích cũng cho thấy rằng, hiện tượng không ổn định số cũng xảy ra khi ta sử dụng các kỹ thuật tinh vi hơn để xây dựng các lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor hoặc phương pháp Runge - Kutta.. - Nhìn chung, các lược đồ sai phân bình thường chỉ bảo toàn được các tính chất nghiệm của phương trình vi phân khi ta sử dụng bước lưới h nhỏ. - Vì thế, việc sử dụng các lược đồ sai phân bình thường không có lợi thế khi giải các phương trình vi phân trên đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn như đối với các hệ động lực học, thời gian có thể tiến ra. - Các phân tích cũng chỉ ra rằng, hiện tượng không ổn định số xảy ra khi phương trình sai phân (rời rạc) không bảo toàn được các tính chất ổn định tuyến tính cho các điểm bất động hay còn gọi là nghiệm hằng hoặc điểm cân bằng của phương trình vi phân (liên tục). - Chẳng hạn, phương trình sai phân và phương trình vi phân không có cùng tập hợp điểm bất động. - Trong trường hợp phương trình sai phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động thì xảy ra trường hợp có thể y(t. - y ¯ là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi phân nhưng y k ≡ y ¯ lại không phải điểm ổn định tuyến tính của phương trình sai phân tương ứng.. - Tổng quát hơn, hiện tượng bất ổn định số xảy ra khi nghiệm của phương trình sai phân không thỏa mãn các điều kiện mà nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn. - Nói chung, khi sử dụng cỡ bước lớn thì các lược đồ sai phân bình thường không bảo toàn được các tính chất này. - Lược đồ sai phân khác thường được được đề xuất bởi R. - Lược đồ sai phân khác thường là lược đồ sai phân được xây dựng dựa trên một bộ quy tắc xác định, các quy tắc này được đưa ra bởi R. - Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường. - Hai quy tắc quan trọng trong việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường là. - Các đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân nên được rời rạc hóa bằng công thức phức tạp hơn các công thức rời rạc hóa thông thường, chẳng hạn, như công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm. - Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phân nên được rời rạc hóa không địa phương, tức là rời rạc hóa hàm số dựa trên giá trị của hàm tại một số điểm trên lưới rời rạc thay vì rời rạc hóa địa phương trong các lược đồ sai phân bình thường.. - Đây là sự khác biệt lớn nhất giữa các lược đồ sai phân bình thường và các lược đồ sai phân khác thường.. - Ưu thế của các lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường là bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán với mọi cỡ bước h >. - Tuy nhiên, nhược điểm của các lược đồ khác thường là khó có thể đưa ra các lược đồ có cấp chính xác cao như các lược đồ bình thường và thời gian thực hiện tính toán có thể lâu hơn vì đạo hàm và hàm vế phải được rời rạc hóa phức tạp hơn.. - Vì thế, việc sử dụng các lược đồ khác thường có lợi thế khi chúng ta giải các bài toán trên đoạn tìm nghiệm lớn và cần bảo toàn chính xác các tính chất nghiệm của bài toán.. - Hiện nay, các lược đồ sai phân khác thường được các nhà toán học xây dựng và sử dụng rộng rãi cho cả phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng như phương trình đạo hàm thường và các bài toán biên. - Tuy nhiên, trong khuôn khổ của luận văn, chúng ta chủ yếu tập trung vào việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường cho bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường. - Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường.. - Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân và phương pháp số giải phương trình vi phân. - Trên cơ sở kết hợp việc phân tích hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các lược đồ sai phân bình thường và việc xây dựng các lược đồ sai phân chính xác (exact scheme) chúng ta đưa ra các quy tắc tổng quát để xây dựng các lược đồ sai phân khác thường.. - Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân.. - Chương này đề cập việc xây dựng các lược đồ sai phân giải một số phương trình vi phân trong trường hợp một chiều. - Các lược đồ được xây dựng dựa trên cả hai cách rời rạc hóa không địa phương và lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp.. - Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân.. - Chương cuối này, dành cho việc xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bảo toàn các tính chất của hệ động lực học. - Trong các phần trình bày đều có các thử nghiệm số đi kèm để minh họa cho tính hiệu quả của các lược đồ được xây dựng.. - Lược đồ sai phân khác thường. - Trong phần trình bày của luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, hay còn gọi là bài toán Cauchy. - Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết một phương trình là dừng. - Vì nếu phương trình không ở dạng dừng thì ta đưa thêm biến phụ y n+1 = t và đặt y ˆ = (y 1 , y 2. - Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng. - được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phương trình vi phân (xem nên chúng ta không trình bày lại ở đây. - A nonstandard finite - difference scheme for the Lotka Volterra system”, Journal of Sound and Vabration pp. - Journal of Sound and Vabration pp. - Exact finite - difference schemes for two - dimensional linear systems with constant coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics