- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHẦN XOẮN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC. - 1 Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic 6. - 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó. - 1.1.1 Đường cong elliptic. - 1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic. - 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz. - 1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong elliptic. - 2 Một số phân loại đã biết theo danh sách của Kubert 18 2.1 Danh sách của Kubert. - 2.2 Phân loại của K. - 2.3 Phân loại của Qiu - Zhang. - 2.4 Nhóm con xoắn nhận được theo danh sách của Kubert. - 3 Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert 32 3.1 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 5. - 3.2 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 6. - 3.3 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 4. - 3.4 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 3. - Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học. - Lịch sử phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và những ứng dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá. - Gần đây, những ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết mật mã, trong phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các phương trình Diophante.. - Định lý Mordell-Weil phát biểu rằng nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic (E( Q. - trong đó phần xoắn T orsE ( Q ) là một nhóm hữu hạn và hạng r cũng hữu hạn. - Hơn nữa, phần xoắn T orsE( Q ) có thể xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt và định lý Mazur. - Câu hỏi ngược lại là bài toán phân loại (hoặc tìm) các họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước.. - Nội dung chính của luận văn là phân loại phần xoắn của một số họ đã biết và bổ sung những phân loại còn thiếu theo danh sách của D.S. - Trong các phân loại đó song song với các chứng minh lý thuyết, chúng tôi sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại các kết quả.. - Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic.. - Chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đường cong. - elliptic, định nghĩa các dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng trên đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ trong đó có một ví dụ trình bày phân loại nhóm con xoắn.. - Chương 2: Một số phân loại đã biết theo danh sách của D.S. - Chúng tôi trình bày lại hai phân loại của K Ono và D. - Zhang cho hai lớp đường cong (2) và (3) trong danh sách (K ) của D.S. - Chương 3: Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert.. - Mục đích chính của chúng tôi là đi bổ sung phân loại cho bốn lớp đường cong và (13) theo danh sách (K) của D.S. - Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic. - Mục đích của chương này là trình bày lại một số kết quả quan trọng trong lý thuyết đường cong elliptic, chẳng hạn định lý Nagell-Luzt, định lý Mazur, định lý Mordell-Weil và hai ví dụ về phần xoắn của đường cong elliptic.. - Phương trình đường cong bậc 3 tổng quát xác định trên trường K có dạng. - Khi đó bằng phép đổi trục tọa độ hợp lý, chúng ta có thể chuyển phương trình bậc 3 tổng quát về dạng. - Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass tổng quát.. - phương trình trên trở thành. - y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C.. - Phương trình này được gọi là phương trình dạng Weierstrass đơn giản.. - x + A 3 chúng ta có thể chuyển phương trình Weierstrass đơn giản về dạng. - Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass chuẩn tắc.. - Một đường cong xác định bởi phương trình dạng Weierstrass đơn giản y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C với A, B, C ∈ K. - được gọi là đường cong elliptic nếu nó không kỳ dị, tức là biệt thức D = −4A 3 C + A 2 B 2 + 18ABC − 4B 3 − 27C 2 6= 0. - Để đơn giản, ta dùng kí hiệu D thay cho biệt thức của đường cong elliptic nếu không nói gì thêm.. - Cho đường cong elliptic E có phương trình y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C thì trong hệ tọa độ xạ ảnh phương trình của E là. - K 2 : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C. - với đường cong tại P 1 , khi đó tọa độ điểm P 3 (x 3 , y 3 ) chính là tọa độ của điểm 2P 1. - Với P 1 , P 2 6= Θ , tọa độ P 3 (x 3 , y 3 ) xác định như sau:. - Luật cộng điểm của đường cong E có phương trình (E. - Trường hợp 1. - Nếu x 1 6= x 2 thì P 1 6= P 2 , gọi phương trình đường thẳng đi qua P 1 , P 2 là y = λx + β , trong đó. - Trường hợp 2. - Trường hợp 3. - Nếu P 1 = P 2 , gọi phương trình tiếp tuyến đi qua P 1 là y = λx + β , trong đó. - Ta gọi phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = λx + β và E là. - Tọa độ của P 3 (x 3 , y 3 ) xác định như sau.. - (x 3 , −y 3 0 − a 1 x 3 − a 3 ) trong đó x 3 = λ 2 + λa 1 − a 2 − x 1 − x 2 , y 3 0 = λx 3 + β. - (x 3 , y 3 0 − a 1 x 3 − a 3 ) trong đó x 3 = λ 2 + λa 1 − a 2 − 2x 1 , y 3 0 = λx 3 + β. - Định lý 1.1. - Có thể xem chứng minh định lý này trong [14].. - Cho E là đường cong elliptic có phương trình y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q. - Nếu cần thiết nhân cả hai vế của phương trình với d 6 , d ∈ Z. - Vậy khi xét E : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C trên Q có thể giả sử A, B, C ∈ Z . - Cho E : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C , với A, B, C ∈ K . - Để làm được điều đó, ta cần đến kết quả quan trọng là định lý Nagell-Lutz.