- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. - Định nghĩa phương trình vi phân. - Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y 0 , y. - Như vậy phương trình vi phân là phương trình có dạng. - Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình.. - Nếu thay y bằng hàm số y(x) vào phương trình vi phân, ta được đồng nhất thức, thì ta nói y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân đó. - Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.. - Phương trình vi phân cấp 1. - Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng:. - Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y(x) của phương trình vi phân thỏa điều kiện đầu y(x 0. - Hàm số y = ϕ(x, C) gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên miền D ⊂ R 2 nếu với mọi (x 0 , y 0. - Giải phương trình vi phân y 0 = sin x và tìm nghiệm của bài toán Cauchy y 0 = sin x, y(0. - Phương trình vi phân dạng tách biến. - Phương trình vi phân dạng tách biến là phương trình vi phân có dạng y 0 = f(x)g(y).. - Giải các phương trình vi phân:. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng y 0 + p(x)y = q(x). - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 1. - Phương trình vi phân toàn phần. - Phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu có u(x, y) thỏa. - Nếu tìm được u(x, y) thì phương trình trở thành du(x, y. - Giải phương trình vi phân. - Phương trình vi phân đẳng cấp. - Phương trình vi phân đẳng cấp là phương trình vi phân có dạng y 0 = h( y x. - Giải các phương trình vi phân 1. - Giải các phương trình vi phân. - Phương trình vi phân cấp 2. - Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình vi phân có dạng F(x, y, y 0 , y 00. - Các phương trình sau đây là phương trình vi phân cấp 2:. - Xét phương trình y 00 = f(x, y, y 0. - Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp. - Phương trình vi phân cấp 2 y 00 = f(x, y, y 0 ) nếu có các dạng sau thì có thể giảm cấp.. - Giải phương trình vi phân y 00 = sin x, y(0. - Trường hợp 2: Nếu vế phải không chứa y, đặt u = y 0 ta được phương trình vi phân cấp 1.. - Giải phương trình vi phân y 00 = x − y x 0. - Giải phương trình vi phân 2yy 00 + y 02 = 0.. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng P(x) d dx 2 y 2 + Q(x) dy dx + R(x)y = G(x) (1) với P(x) 6= 0.. - Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất là phương trình có dạng P(x) d dx 2 y 2 + Q(x) dy dx + R(x)y = 0 (2). - Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất. - Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. - Nếu P, Q, R là các hằng số thì (2) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. - Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là phương trình vi phân có dạng ay 00 + by 0 + cy = 0 (3) với a 6= 0.. - Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3).. - Thi • Nếu phương trình đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt r 1 , r 2 thì nghiệm tổng quát của (3) là. - Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất là r 0 thì nghiệm tổng quát của (3) là. - Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (3) là. - Giải các phương trình vi phân sau:. - Bài toán giá trị đầu cho phương trình (1) và (2) là bài toán tìm nghiệm y(x) thỏa y(x 0. - Bài toán giá trị biên cho phương trình (1) và (2) là bài toán tìm nghiệm y = y(x) thỏa y(x 0. - Giải phương trình vi phân y 00 + 2 y 0 + y = 0, y(0. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng. - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng là phương trình vi phân có dạng. - e αx P n (x), trong đó P n (x) là đa thức bậc n thì một nghiệm riêng của (5) có dạng y r (x. - 0 nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng 1 nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.. - Giải phương trình vi phân 1. - e αx [P n (x) cos βx + Q m (x) sin βx], trong đó P n (x) là đa thức bậc n, Q m (x) là đa thức bậc m thì một nghiệm riêng của (5) có dạng. - G 2 (x) với G 1 (x), G 2 (x) có một trong hai dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) có dạng. - với y r1 , y r2 là các nghiệm riêng của các phương trình ay 00 + by 0 + cy = G 1 (x), ay 00 + by 0 + cy = G 2 (x).
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt