Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 3

- To¸n tö vµ hÖ hµm To¸n tö vµ hÖ hµm To¸n tö vµ hÖ hµm To¸n tö vµ hÖ hµm.
- To¸n tö To¸n tö To¸n tö To¸n tö.
- Mét trong nh÷ng c«ng cô Êy lµ to¸n tö t¸c dông lªn hµm sãng..
- §Þnh nghÜa: To¸n tö lµ mét phÐp to¸n khi ta t¸c dông lªn mét hµm th× cho ra mét hµm míi..
- Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n ®−îc qui −íc trong to¸n tö A ®èi víi hµm sè ϕ x ®øng sau nã ta nhËn ®−îc hµm míi ψ x .
- Hay nãi c¸ch kh¸c ψ x lµ kÕt qu¶ cña sù t¸c ®éng to¸n tö A lªn hµm sè ϕ x.
- KÝ hiÖu: Aˆ ϕ x = ψ x (3.1) VÝ dô: To¸n tö A hµm sè hµm míi.
- To¸n tö A = nh©n víi a cã nghÜa lµ thùc hiÖn phÐp nh©n a vµo hµm sè ®øng sau nã..
- Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu c¸c to¸n tö: Aˆ , Bˆ , Cˆ.
- C¸c phÐp to¸n vÒ to¸n tö.
- PhÐp céng cña hai to¸n tö A vµ B:.
- Tæng c¸c to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C ( Cˆ = Aˆ + Bˆ ) sao cho khi Cˆ t¸c dông lªn hµm u (tuú ý) th× b»ng Aˆ + Bˆ t¸c dông lªn hµm u ®ã..
- TÝch c¸c to¸n tö: TÝch hai to¸n tö A vµ B lµ to¸n tö C hay C ' sao cho:.
- Aˆ th× ta nãi hai to¸n tö Aˆ , Bˆ kh«ng giao ho¸n víi nhau, ta gäi [ Aˆ , Bˆ.
- Aˆ lµ giao ho¸n tö cña hai to¸n tö Aˆ vµ Bˆ .
- Aˆ th× ta nãi hai to¸n tö Aˆ vµ Bˆ giao ho¸n..
- Luü thõa cña to¸n tö: Luü thõa cña to¸n tö Aˆ ®−îc ®Þnh nghÜa:.
- To¸n tö tuyÕn tÝnh To¸n tö tuyÕn tÝnh To¸n tö tuyÕn tÝnh To¸n tö tuyÕn tÝnh.
- §Þnh nghÜa: To¸n tö Lˆ ®−îc gäi lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh nÕu nã tho¶ m·n biÓu thøc sau:.
- VÝ dô: to¸n tö dx.
- d cña hµm f(x) theo x lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh v×:.
- Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh nh−: to¸n tö nh©n (víi mét sè, mét hµm sè).
- +To¸n tö.
- +To¸n tö Laplace.
- +To¸n tö Napla:.
- +To¸n tö Hamilton H.
- C¸c to¸n tö kh«ng tuyÕn tÝnh.
- TÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh.
- NÕu hai to¸n tö Aˆ , Bˆ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh (t 4 ) th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ tÝch cña chóng nh©n víi mét sè còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh..
- Hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh.
- §Þnh nghÜa: NÕu kÕt qu¶ t¸c ®éng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Lˆ lªn mét hµm u b»ng chÝnh hµm u ®ã nh©n víi tham sè L nµo ®ã, th× ta gäi u lµ hµm riªng vµ L lµ trÞ riªng cña to¸n tö Lˆ.
- Lˆ u = Lu (3.3) u lµ hµm riªng cña Lˆ , cßn L lµ trÞ riªng cña Lˆ øng víi hµm riªng u..
- e ax lµ hµm riªng cña to¸n tö dx.
- d , cßn a lµ trÞ riªng cña to¸n tö vµ øng víi hµm riªng e ax.
- Ph−¬ng tr×nh (3.3) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hµm riªng- trÞ riªng cña to¸n tö Lˆ .
- Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh Lˆ cã thÓ tån t¹i nhiÒu hµm riªng vµ trÞ riªng kh¸c nhau..
- TËp hîp c¸c trÞ riªng cña Lˆ gäi lµ phæ c¸c trÞ riªng.
- L lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k.
- C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh a.
- §Þnh lÝ 1: NÕu u n lµ hµm riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Lˆ øng víi trÞ riªng L n vµ a lµ mét h»ng sè tuú ý ≠ 0 th× au n còng lµ hµm riªng cña Lˆ øng víi trÞ riªng L n.
- §Þnh lÝ 2: NÕu L n lµ trÞ riªng suy biÕn bËc k cña to¸n tö Lˆ : Lˆ u 1 = L n u 1.
- th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k hµm riªng ®ã còng lµ hµm riªng cña Lˆ øng víi trÞ riªng L n .
- §Þnh lÝ 3: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai to¸n tö Aˆ vµ Bˆ cã chung hµm riªng lµ chóng ph¶i giao ho¸n víi nhau..
- hay ∫ ψ 2 dx = 1 (3.7) ψ ch−a chuÈn ho.
- To¸n tö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp (to¸n tö Hermit ö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp (to¸n tö Hermit ö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp (to¸n tö Hermit ö tuyÕn tÝnh tù liªn hîp (to¸n tö Hermiteeee)))).
- §Þnh nghÜa: To¸n tö Lˆ ®−îc gäi lµ to¸n tö Hermit nÕu nã tho¶ m·n hÖ thøc sau:.
- Lˆ * v * dx (3.10).
- C¸c to¸n tö Hermit:.
- Lˆ = -i ℏ (to¸n tö ®éng l−îng p x.
- C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö Hermit a.
- §Þnh lÝ 1: TrÞ riªng cña to¸n tö Hermit lµ trÞ thùc: L n = L n.
- ThËt vËy, nÕu Lˆ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit vµ L n lµ trÞ riªng cña Lˆ th× ta cã:.
- VËy trÞ riªng cña to¸n tö Hermit lµ trÞ thùc b.
- §Þnh lÝ 2: TËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm riªng kh¸c nhau cña mét to¸n tö Hermit cã phæ trÞ riªng gi¸n ®o¹n lµm thµnh mét hµm trùc giao..
- TÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit.
- NÕu Lˆ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× Lˆ .a (a ≠ 0) còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit..
- VÝ dô: To¸n tö i..
- d lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× -i dx.
- ℏ d còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit..
- NÕu Aˆ vµ Bˆ lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit th× giao ho¸n tö Aˆ .
- Aˆ còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit..
- To¸n tö A vµ B lµ Hermit th× tæng hoÆc hiÖu cña chóng còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit..
- NÕu Aˆ vµ Bˆ lµ c¸c to¸n tö Hermit th× tæ hîp tuyÕn tÝnh cña chóng còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermit..
- NÕu ψ n kh«ng ph¶i lµ hµm riªng cña to¸n tö Hermite L, nghÜa lµ Lˆ ψ n ≠ L n ψ n.
- Th«ng qua c¸c thuéc tÝnh quan träng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Hermite ta thÊy r»ng chØ cã lo¹i to¸n tö nµy míi ®ñ kh¶ n¨ng biÓu diÔn b¶n chÊt cña c¸c ®¹i l−îng vËt lý cña hÖ l−îng tö.
- Vµ ®ã còng lµ lý do t¹i sao to¸n tö Hermite lµ c«ng cô to¸n häc trong c¬.
- To¸n tö lµ g×? ThÕ nµo lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh?.
- Cho biÕt ®iÒu kiÖn ®Ó hai to¸n tö A vµ B ®−îc gäi lµ giao ho¸n víi nhau..
- Cho biÕt ®Þnh nghÜa vÒ ph−¬ng tr×nh hµm riªng - trÞ riªng cña to¸n tö..
- Cho biÕt ®Þnh nghÜa vÒ to¸n tö Hermit..
- To¸n tö Hermit cã nh÷ng tÝnh chÊt g×? Chøng minh..
- Cho to¸n tö xˆ = x.
- to¸n tö dx.
- 8.e 4x lµ hµm riªng cña to¸n tö dx.
- H·y chøng minh nh÷ng hµm sau ®©y hµm nµo lµ hµm riªng cña to¸n tö dx.
- Cho to¸n tö xˆ = x vµ uˆ = dx.
- d , h·y x¸c ®Þnh hµm sãng míi thu ®−îc khi thùc hiÖn phÐp nh©n to¸n tö cho c¸c tr−êng hîp sau:.
- H·y chøng minh c¸c trÞ riªng cña to¸n tö Hermite ®Òu lµ nh÷ng tri thùc.
- H·y chøng minh nh÷ng hµm riªng cña mét to¸n tö Hermite A øng víi nh÷hg trÞ 12..
- 8.e 4x lµ hµm riªng cña to¸n tö d/dx.
- Cho to¸n tö ˆ 2 2 2 dx x d.
- e − x 2 / 2 lµ hµm riªng cña to¸n tö hˆ vµ cho biÕt trÞ riªng t−¬ng øng b»ng bao nhiªu?

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt