Giáo trình Toán học phần 2

- gọi là một thành phần liên thông chứa điểm a.
- Miền D gọi là đơn liên nếu biên ∂D gồm một thành phần liên thông, tr−ờng hợp trái lại gọi là miền đa liên..
- Biên ∂D gọi là định h−ớng d−ơng nếu khi đi theo h−ớng đó thì.
- Kí hiệu ω = e i 2 n.
- z l Suy ra.
- Hàm u(x, y) gọi là phần thực, hàm v(x, y) gọi là phần ảo, hàm | f(z.
- u 2 + v 2 gọi là module, hàm f (z.
- Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy) 2 = (x 2 - y 2.
- Chính vì vậy mỗi hàm phức xem nh− là một phép biến hình từ mặt phẳng (Oxy) vào mặt phẳng (Ouv).
- Nếu ánh xạ f là đơn ánh thì hàm w = f(z) gọi là đơn diệp, trái lại gọi là đa diệp.
- Nếu ánh xạ f là đơn trị thì hàm w = f(z) gọi là hàm đơn trị, trái lại gọi là đa trị.
- gọi là hàm hợp của hàm f và hàm g, kí hiệu là h = gof..
- gọi là hàm ng−ợc của hàm f, kí hiệu là g = f -1.
- Hàm ng−ợc của hàm biến phức có thể là hàm đa trị.
- Ví dụ Hàm w = z 2 là hàm đa diệp trên ∀ và có hàm ng−ợc z = w là hàm đa trị..
- Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần đến a và kí hiệu là.
- ε Hàm f gọi là dần đến giới hạn L khi z dần ra vô hạn và kí hiệu là.
- ε Hàm f gọi là dần ra vô hạn khi z dần đến a và kí hiệu là.
- ε Suy ra.
- Hàm f gọi là liên tục tại điểm a ∈ D nếu.
- Hàm f gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm z ∈ D..
- Hàm f gọi là liên tục đều trên miền D nếu.
- Suy ra tập f(D) là tập đóng..
- Suy ra tập f(D) là tập liên thông đ−ờng..
- 1/ n Suy ra a = b.
- Đạo hàm phức.
- Hàm f gọi là R - khả vi nếu phần thực u = Ref và phần ảo v = Imf là các hàm khả vi.
- gọi là vi phân của hàm phức f..
- Hàm f gọi là C - khả vi nếu nó là R - khả vi và có các đạo hàm riêng thoả m~n điều kiện Cauchy - Riemann sau đây.
- gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm a..
- Giả sử hàm f là R - khả vi và ∆z.
- Tức là hàm f là C - khả vi.
- Từ đó suy ra định lý sau đây..
- Giả sử hàm f là C - khả vi.
- Kết hợp với công thức (2.3.2) và điều kiện (C - R) nhận đ−ợc công thức trên..
- Từ công thức (2.3.5) suy ra các qui tắc tính đạo hàm phức t−ơng tự nh− các qui tắc tính đạo hàm thực..
- Ta có u = x 2 - y 2 và v = 2xy là các hàm khả vi và thoả m~n điều kiện (C - R) u′ x = 2x = v ′ y và u′ y.
- Suy ra hàm w là C - khả vi và theo công thức (2.3.5) w.
- Hàm giải tích.
- Hàm f gọi là giải tích (chỉnh hình) tại điểm a nếu có số d−ơng R sao cho hàm f có đạo hàm trong hình tròn B(a, R).
- Hàm f gọi là giải tích trong miền mở D nếu nó giải tích tại mọi điểm trong miền D.
- Tr−ờng hợp D không phải miền mở, hàm f gọi là giải tích trong miền D nếu nó giải tích trong miền mở G và D ⊂ G.
- là tập các hàm giải tích trên miền D..
- Định lý Hàm phức giải tích có các tính chất sau đây..
- Từ giả thiết suy ra các hàm u, v là khả vi và thoả m~n điều kiện (C - R).
- Suy ra ánh xạ f : (x, y.
- Từ đó suy ra.
- Giả sử hàm w = f(z) giải tích tại điểm a và có đạo hàm f’(a.
- Gọi L : z = z(t) là đ−ờng cong trơn đi qua điểm a và Γ : w = f[z(t.
- dw = f’(a)z’(t)dt = f’(a)dz Suy ra.
- Suy ra trong lân cận của điểm a phép biến hình w = f(z) là phép đồng dạng..
- Phép biến hình bảo toàn góc giữa hai đ−ờng cong gọi là phép biến hình bảo giác.
- Theo kết quả trên thì hàm giải tích và có đạo hàm khác không là một phép biến hình bảo giác..
- Ng−ợc lại giả sử ánh xạ f là R - khả vi và bảo giác tại điểm a.
- Do tính bảo giác.
- Suy ra y f.
- Điều này có nghĩa là hàm R - khả vi và biến hình bảo giác là hàm C - khả vi.
- Chúng ta sẽ quay lại vấn đề biến hình bảo giác ở cuối ch−ơng này..
- là hàm giải tích trên toàn tập số phức, có đạo hàm.
- Hàm luỹ thừa phức là hàm đa diệp.
- Suy ra miền đơn diệp là hình quạt α <.
- Kí hiệu z = re i ϕ suy ra w = r n e in ϕ.
- là hàm ng−ợc của hàm luỹ thừa phức.
- điểm gốc gọi là điểm rẽ nhánh của hàm căn phức và để tách các nhánh đơn trị ng−ời ta th−ờng cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra.
- là hàm đơn diệp, giải tích trên miền D, có đạo hàm w’(z.
- Hàm mũ phức là hàm đa diệp.
- Suy ra miền đơn diệp là băng đứng α <.
- Kí hiệu z = x + iy suy ra | w.
- là hàm ng−ợc của hàm mũ phức.
- z | và v = argz + k2π với k ∈ 9 Suy ra.
- là hàm đơn trị, giải tích trên miền D, có đạo hàm w’(z).
- Các hàm biến phức w = cosz, w = sinz và w = tgz gọi là các hàm l−ợng giác phức..
- Các hàm biến phức w = chz, w = shz và w = thz gọi là các hàm hyperbole phức..
- Biến hình bảo giác.
- gọi là biến hình bảo giác tại điểm a nếu nó bảo toàn góc định h−ớng giữa các đ−ờng cong đi qua điểm a.
- Anh xạ f gọi là phép biến hình bảo giác trên miền D nếu nó là đơn diệp và bảo giác tại mọi điểm thuộc D..
- ánh, R - khả vi và bảo giác trong lân cận điểm a, gọi là một vi phôi bảo giác.
- Ng−ợc lại một vi phôi bảo giác tại điểm a là hàm giải tích và có đạo hàm khác không tại điểm a..
- Bài toán Tìm phép biến hình bảo giác f biến miền đơn liên D thành miền đơn liên G..
- Để giải bài toán trên ng−ời ta th−ờng sử dụng các kết quả d−ới đây, gọi là các nguyên lý biến hình bảo giác.
- Việc chứng minh các nguyên lý biến hình bảo giác là rất phức tạp và phải sử dụng nhiều kết quả khác.
- Khi đó tồn tại vô số hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D thành miền G.
- Phép biến hình đ−ợc xác.
- Khi đó hàm giải tích f a là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền U..
- Giả sử f : D → U và g : G → U là các phép biến hình bảo giác.
- phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền G..
- liên tục trên D , giải tích trong D và không phải là hàm hằng.
- Do hàm f liên tục nên bảo toàn đ−ờng cong suy ra bảo toàn tính liên thông.
- liên tục trên D , giải tích trong D và biến hình bảo giác ∂D + thành ∂G.
- Khi đó hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G..
- Suy ra hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G..
- Nguyên lý đối xứng Cho các miền đơn liên giới nội D 1 đối xứng với D 2 qua đoạn thẳng hoặc cung tròn L ⊂ ∂D 1 ∩ ∂D 2 và hàm f 1 : D 1.
- liên tục trên D , giải tích trong D 1 1 , biến hình bảo giác miền D 1 thành miền G 1 sao cho cung L + thành cung Γ.
- Khi đó có hàm giải tích f : D 1 ∪ D 2.
- biến hình bảo giác miền D 1 ∪ D 2 thành miền G 1 ∪ G 2 với G 2 là miền đối xứng với G 1 qua cung Γ..
- là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D 2 thành miền G 2 .
- là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D 1 ∪ D 2 thành miền G 1 ∪ G 2.
- là hàm giải tích, có đạo hàm w’(z.
- và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) lên mặt phẳng (w)..
- Suy ra phép biến hình tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây.

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt