- 1 suy ra khai triển. - Do hàm f liên tục trên D nên có module bị chặn suy ra chuỗi (2) hội tụ đều trên Γ 1 và chuỗi (3) hội tụ đều trên Γ 2 . - Tích phân từng từ công thức (1) suy ra công thức (4.5.1). - Phân loại điểm bất th−ờng. - Điểm a gọi là điểm bất th−ờng nếu hàm f không giải tích tại a. - 0 sao cho hàm f giải tích trong B(a, ε. - {a} thì điểm a gọi là điểm bất th−ờng cô lập. - z→ a = L thì điểm a gọi là bất th−ờng. - thì điểm a gọi là cực điểm. - điểm a gọi là bất th−ờng cốt yếu.. - Điểm a là cực điểm cấp m khi và chỉ khi m(a) <. - f giải tích trong B(a, ε). - 1 giải tích trong B(a, ε) và g(a. - Theo hệ quả 3, Đ4. - và h là hàm giải tích trong B(a, ε), h(a. - 0 Suy ra. - Hệ quả 1 (Định lý Sokhotsky) Điểm a là điểm bất th−ờng cốt yếu của hàm f khi và chỉ khi với mọi số phức A có d~y số phức (z n ) n. - Hàm f giải tích trên toàn tập số phức gọi là hàm nguyên. - 1 suy ra hàm g(ζ. - 0 f(a) nên ∀ n ≥ 1, c n = 0 Từ đó suy ra kết quả sau đây.. - Hệ quả 2 Kí hiệu m f. - Hàm f(z) gọi là hàm phân hình nếu nó chỉ có hữu hạn cực điểm trên tập. - Hệ quả 3 Hàm f(z) là hàm phân hình khi và chỉ khi hàm f(z) là phân thức hữu tỷ Chứng minh. - P có hữu hạn cực điểm là các không điểm của Q(z) Ng−ợc lại, giả sử hàm f(z) có m cực điểm trên. - với hàm h giải tích trên toàn ∀ và m h. - n suy ra h(z. - Cho hàm f giải tích trong B(a, R. - {a}, liên tục trên Γ = ∂B(a, R). - Tích phân Resf(a. - gọi là thặng d− của hàm f tại điểm a.. - Cho hàm f giải tích trong miền R <. - liên tục trên Γ = ∂B(0, R). - Tích phân Resf. - gọi là thặng d− của hàm f tại điểm. - So sánh với công thức (4.7.1) suy ra công thức (4.7.3). - Hệ quả Cho điểm a là cực điểm cấp m của hàm f. - Khai triển Laurent tại cực điểm a cấp m f(z. - Suy ra. - có hai cực điểm cấp 3 là ±i Resf(i). - Định lý Cho hàm f có các cực điểm hữu hạn là a k với k = 1...n. - Gọi Γ k với k = 1...n là các đ−ờng tròn | z - a k. - Theo công thức tích phân Cauchy. - Chuyển vế sau đó chia hai vế cho 2πi suy ra công thức (4.7.5). - Hệ quả Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và hàm f liên tục trên Γ, giải tích trong D Γ ngoại trừ hữu hạn cực điểm a k ∈ D Γ với k = 1...n. - Hàm f(z) có hai cực điểm z = ±i nằm trong miền D Γ và một cực điểm z = -3 nằm ngoài miền D Γ. - {a}, liên tục trên Γ = ∂B(a, R).. - Tích phân. - Nếu b là cực điểm cấp m của hàm f thì ResLnf(b. - Đạo hàm hàm f suy ra. - là hàm giải tích trong B(a, R). - Theo hệ quả 3, Đ5. - Đạo hàm hàm f suy ra f’(z. - là hàm giải tích trong B(a, R) Suy ra. - Hệ quả 1 Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và hàm f liên tục trên Γ, có các không điểm a k cấp n k với k = 1...p và giải tích trong D Γ ngoại trừ các cực điểm b j cấp m j với j = 1...q. - Kết hợp định lý trên, công thức tích phân Cauchy và lập luận t−ơng tự hệ quả 1, Đ7. - Ta xem một không điểm cấp n là n không điểm đơn trùng nhau và một cực điểm cấp m là m cực điểm đơn trùng nhau. - i∆ Γ Argf(z) Kết hợp với công thức (4.8.2) suy ra hệ quả sau đây.. - Hệ quả 2 (Nguyên lý Argument) Số gia của argument của hàm f khi z chạy hết một vòng trên đ−ờng cong Γ kín, trơn từng khúc và định h−ớng d−ơng bằng 2π nhân với hiệu số của số không điểm trừ đi số cực điểm của hàm f nằm trong miền D Γ . - Hệ quả 3 (Định lý Rouché) Cho đ−ờng cong Γ đơn, kín, trơn từng khúc, định h−ớng d−ơng và các hàm f , g liên tục trên Γ, giải tích trong D Γ . - Theo hệ quả 3. - R, Imz ≥ β} và hàm f giải tích trong nửa mặt phẳng D = {Imz >. - β} ngoại trừ hữu hạn điểm bất th−ờng. - Từ giả thiết suy ra. - R M Suy ra. - Hệ quả 1 Cho f(z) là phân thức hữu tỷ sao cho bậc của mẫu số lớn hơn bậc tử số ít nhất là hai đơn vị, có các cực điểm a k với k = 1...p nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực điểm đơn b j với j = 1...q nằm trên trục thực. - Để đơn giản, xét tr−ờng hợp hàm f có một cực điểm a thuộc nửa mặt phẳng trên và một cực điểm đơn b thuộc trục thực. - f = 2πiResf(a) Kết hợp với công thức (4.9.1) suy ra. - Do b là cực điểm đơn nên f(z. - Thay (2) và (3) vào (1) suy ra công thức (4.9.1). - Ví dụ Tính tích phân I. - có cực điểm kép a = i thuộc nửa mặt phẳng trên. - Suy ra I = 2πiResf(i. - Hệ quả 2 Cho f(z) là phân thức hữu sao cho bậc của mẫu số lớn hơn bậc tử số ít nhất là một đơn vị, có các cực điểm a k với k = 1...p nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực. - điểm đơn b j với j = 1...q nằm trên trục thực. - Lập luận t−ơng tự nh− chứng minh hệ quả 1.. - 1 có cực điểm đơn b = 0 thuộc trục thực và Resg(0). - e iz = 1 Suy ra I. - Hệ quả 3 Cho đ−ờng cong Γ R. - R, Rez ≤ α } và hàm f giải tích trong nửa mặt phẳng D. - Suy ra từ định lý bằng cách quay mặt phẳng một góc π/2.. - k ) a ( sg Re Suy ra. - và sử dụng hệ quả 3 chúng ta nhận đ−ợc công thức (4.9.6). - của các hàm sau đây.. - Tính thặng d− của các hàm sau đây.. - Tính tích phân hàm f trên đ−ờng cong kín Γ định h−ớng d−ơng sau đây.. - Tính các tích phân xác định sau đây. - Tính các tích phân suy rộng sau đây.. - Tích phân suy rộng. - Cho khoảng I ⊂ 3 và hàm F : I ì 3. - Định lý Tích phân suy rộng bị chặn đều có các tính chất sau đây. - liên tục trên miền I ì 3 và tích phân. - gọi là hàm xung δ(t). - Xét tích phân η(t, h. - Từ đó suy ra các hệ thức khác.. - Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân. - ε m 2 Từ đó suy ra −ớc l−ợng. - Bổ đề 2 Các hàm H(t) và h λ (x) có các tính chất sau đây 1. - Suy ra từ định nghĩa hàm H(t) 2. - Tính trực tiếp tích phân (5.2.1). - Suy ra tích phân trên bị chặn đều
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt