Giáo trình Toán học phần 6

- Suy ra tõ tÝnh chÊt 4.
- BiÕn ®æi Fourier.
- f Chøng minh.
- Theo gi¶ thiÕt hµm f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi vµ ta cã.
- Suy ra tÝch ph©n (5.3.1) bÞ chÆn ®Òu.
- BiÕn ®æi tÝch ph©n f.
- Céng hai vÕ víi c«ng thøc (5.3.1) suy ra 2| f.
- Ngoµi ra, ta cã.
- KÝ hiÖu F - (t.
- BiÕn ®æi c«ng thøc (5.3.2).
- L 1 vµ kÕt qu¶ ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt 1.
- Theo tÝnh chÊt 3.
- 0 n f(t) Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra.
- x¸c ®Þnh theo cÆp c«ng thøc (5.3.1) vµ (5.3.2) gäi lµ cÆp biÕn ®æi Fourier thuËn nghÞch..
- Do tÝnh chÊt 3.
- TÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier.
- Gi¶ sö c¸c hµm mµ chóng ta nãi ®Õn sau ®©y kh¶ tÝch tuyÖt ®èi vµ do ®ã lu«n cã ¶nh vµ nghÞch ¶nh Fourier.
- TuyÕn tÝnh NÕu hµm f vµ hµm g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè phøc λ hµm λf + g còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- G(z) (5.4.1) Chøng minh.
- DÞch chuyÓn gèc NÕu hµm f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α hµm f(t - α) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- e -i αω F(ω) (5.4.2) Chøng minh.
- §ång d¹ng NÕu hµm f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α kh¸c kh«ng hµm f(αt) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- Chøng minh.
- Ta cã g(t.
- §¹o hµm gèc Gi¶ sö hµm f vµ c¸c ®¹o hµm cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- (iω) n F(ω) (5.4.4) Chøng minh.
- Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai..
- TÝch ph©n gèc Gi¶ sö hµm f vµ tÝch ph©n cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- KÝ hiÖu g(t.
- f(t) Theo tÝnh chÊt 4 ∀ ω ∈ 3, (iω)G(ω.
- Suy ra G(ω).
- ¶nh cña tÝch chËp NÕu hµm f vµ hµm g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× tÝch chËp cña chóng còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- HÖ thøc Parseval Gi¶ sö hµm f vµ hµm ¶nh F cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi..
- C«ng thøc ®èi ngÉu.
- So s¸nh cÆp c«ng thøc Fourier (5.3.1) vµ (5.3.2) f(t.
- 1 f(-t) (5.4.8) Tõ ®ã suy ra tÝnh ®èi ngÉu cña cÆp biÕn ®æi Fourier.
- NÕu biÕn ®æi Fourier thuËn cã tÝnh chÊt α th× biÕn ®èi Fourier nghÞch còng cã tÝnh chÊt ®ã chØ sai kh¸c mét h»ng sè 2π vµ biÕn sè cã dÊu ng−îc l¹i.
- Chóng ta cã c¸c c«ng thøc sau ®©y..
- TÝch ph©n ¶nh.
- T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Fourier.
- Tõ cÆp c«ng thøc ®èi ngÉu (5.4.8) suy ra r»ng nÕu chóng ta cã ®−îc mét c«ng thøc cho hµm ¶nh th× sÏ cã c«ng thøc t−¬ng tù cho hµm gèc vµ ng−îc l¹i.
- V× vËy trong môc nµy chóng ta chØ ®−a ra c«ng thøc t×m ¶nh hoÆc c«ng thøc t×m gèc..
- Ng−îc l¹i, ta cã.
- 1 suy ra.
- Ta cã f(t.
- πδ(ω - α) suy ra.
- KÝ hiÖu f * (t) lµ liªn hîp phøc cña hµm f(t).
- Khi ®ã nÕu hµm f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× hµm f * còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi vµ ta cã.
- ω) Tõ ®ã suy ra c«ng thøc.
- Gi¶ sö.
- iI(ω) Tõ ®ã suy ra.
- Sö dông c«ng thøc ®¹o hµm ¶nh vµ qui n¹p suy ra ) n.
- Do hµm F(ω) kh¶ tÝch tuyÖt.
- Sau ®ã sö dông c¸c c«ng thøc (5.4.1.
- Trong c¸c tr−êng hîp phøc t¹p h¬n cã thÓ ph¶i dïng ®Õn c¸c c«ng thøc ¶nh cña tÝch hoÆc ¶nh cña tÝch chËp ®Ó t×m gèc..
- 1 (e -t + e -3t )η(t) Theo c«ng thøc (5.5.8).
- BiÕn ®æi Laplace.
- Suy ra tÝch ph©n (5.6.1) héi tô ®Òu trªn P + (s 0 ) vµ dÇn ®Òu vÒ kh«ng khi σ dÇn ra.
- Ngoµi ra ®¹o hµm qua dÊu tÝch ph©n chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc.
- x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (5.6.1) gäi lµ phÐp biÕn ®æi Laplace.
- Hµm f(t) gäi lµ hµm gèc, hµm F(z) gäi lµ hµm ¶nh cña biÕn ®æi Laplace vµ kÝ hiÖu lµ f(t.
- BiÕn ®æi Laplace kh«ng ph¶i lµ song ¸nh vµ nöa mÆt ph¼ng P + (s 0 ) thay ®æi theo tõng hµm gèc f(t).
- Do vËy cã thÓ nãi ®Õn phÐp biÕn ®æi Laplace tr¸i, ph¶i vµ hai bªn..
- Trong gi¸o tr×nh nµy chóng ta chØ xÐt ®Õn biÕn ®æi Laplace ph¶i..
- BiÕn ®æi Laplace ng−îc.
- s, tÝch ph©n σ.
- F héi tô tuyÖt ®èi.
- s 0 cè ®Þnh hµm F(σ + iω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi.
- KÝ hiÖu.
- Theo ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi Fourier ng−îc hµm g σ ∈ C 0 suy ra hµm f ∈ CM.
- vµ c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6).
- ¦íc l−îng tÝch ph©n.
- s 0 } Tõ ®ã suy ra hµm f(t) lµ hµm gèc vµ ta cã.
- Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.1) vµ c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) HÖ qu¶ 2 Cho hµm F(z).
- víi j = 1..m Chøng minh.
- Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.2) vµ c«ng thøc tÝnh thÆng d− t¹i cùc ®iÓm ®¬n..
- Ta cã 1.
- 1 i ⇒ M = 1, N = 4 1 Suy ra f(t.
- TÝch ph©n tõng tõ f(t.
- TÝnh chÊt cña BiÕn ®æi Laplace.
- VÝ dô Ta cã sinαt = i 2.
- Theo c«ng thøc 5..
- C«ng thøc Duhamel Gi¶ sö hµm f, hµm g vµ c¸c ®¹o hµm cña chóng lµ c¸c hµm gèc..
- Ta cã δ(t.
- 1 suy ra η(t.
- Ta cã t.
- 1 qui n¹p suy ra t n ↔ n 1 z.
- 0 C«ng thøc ®æi ngÉu.
- B»ng c¸ch so s¸nh c¸c c«ng thøc ¶nh vµ nghÞch ¶nh cña biÕn ®æi Laplace chóng ta suy ra c¸c c«ng thøc ®èi ngÉu cña c¸c c«ng thøc (5.8.2.
- Ta cã t n ↔ n 1 z.
- suy ra e -at t n ↔ n 1 ) a z.
- Ta cã sinαt ↔ 2 2.
- α suy ra tsinαt.
- Ta cã.
- π - arctgz suy ra sit.
- T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Laplace.
- Bµi to¸n t×m ¶nh cña hµm gèc th−êng ®¬n gi¶n, cã thÓ gi¶i ®−îc ngay b»ng c¸ch sö dông c¸c c«ng thøc (5.7.1.
- cã c¸c c«ng thøc sau ®©y..
- BiÕn ®æi.
- Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh suy ra X(z)

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt