Giáo trình Toán học phần 7

- Lý thuyÕt tr−êng.
- Tr−êng v« h−íng.
- gäi lµ mét tr−êng v« h−íng vµ kÝ hiÖu lµ (D, u).
- Nh− vËy nÕu (D, u) lµ tr−êng v« h−íng th× u lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn miÒn D.
- Sù kh¸c biÖt thÓ hiÖn ë chç khi nãi vÒ tr−êng v« h−íng ngoµi c¸c tÝnh chÊt cña hµm u ng−êi ta cßn quan t©m h¬n ®Õn cÊu tróc cña miÒn x¸c ®Þnh D.
- Tr−êng v« h−íng (D, u) gäi lµ liªn tôc (cã ®¹o hµm riªng.
- Sau nµy nÕu kh«ng nãi g× thªm chóng ta xem r»ng c¸c tr−êng v« h−íng lµ cã ®¹o hµm liªn tôc tõng khóc trë lªn..
- Cho ®iÓm A ∈ D, mÆt cong cã ph−¬ng tr×nh u(x, y, z.
- VÝ dô Tr−êng v« h−íng u = x 2 + y 2 + z 2 gäi lµ tr−êng b¸n kÝnh, c¸c mÆt møc lµ c¸c mÆt cÇu ®ång t©m : x 2 + y 2 + z 2 = R 2.
- (6.1.2) gäi lµ ®¹o hµm theo h−íng vect¬ e cña tr−êng v« h−íng u t¹i ®iÓm A..
- Suy ra.
- Cho tr−êng v« h−íng (D, u).
- gäi lµ gradient cña tr−êng v« h−íng u..
- C¸c qui t¾c tÝnh Cho u, v lµ c¸c tr−êng v« h−íng, f lµ hµm cã ®¹o hµm vµ λ lµ sè thùc..
- Liªn hÖ víi ®¹o hµm theo h−íng Cho u lµ tr−êng v« h−íng vµ e vect¬ ®¬n vÞ..
- Gradient cña tr−êng v« h−íng u t¹i ®iÓm A lµ ph¸p vect¬ cña mÆt møc ®i qua ®iÓm A t¹i chÝnh ®iÓm ®ã..
- Khi ®ã u lµ tr−êng v« h−íng x¸c ®Þnh trªn miÒn D.
- Tr−êng vect¬.
- gäi lµ tr−êng vect¬ vµ kÝ hiÖu (D, F.
- C¸c tr−êng v« h−íng X, Y vµ Z gäi lµ c¸c thµnh phÇn to¹ ®é cña tr−êg vect¬ F.
- Tr−êng vect¬ (D, F ) lµ liªn tôc (cã ®¹o hµm riªng.
- Sau nµy nÕu kh«ng nãi g× thªm chóng ta xem r»ng c¸c tr−êng vect¬ lµ cã ®¹o hµm riªng liªn tôc tõng khóc trªn miÒn D..
- VÝ dô F = {x, y, z} lµ tr−êng vect¬ b¸n kÝnh, G = {X, Y, 0} lµ tr−êng vect¬ ph¼ng A.
- Hä ®−êng cong Γ n»m gän trong miÒn D gäi lµ hä ®−êng dßng cña tr−êng vect¬ F nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y..
- VÝ dô NÕu tr−êng F lµ tr−êng chÊt láng th× hä ®−êng dßng chÝnh lµ dßng chÊt láng ch¶y d−íi t¸c ®éng cña tr−êng F..
- Theo ®Þnh nghÜa trªn tr−êng vect¬ tiÕp xóc T = {x’(t), y’(t), z’(t)} ®ång ph−¬ng víi tr−êng vect¬ F = {X, Y, Z}.
- λZ víi λ ∈ 3 Tõ ®ã suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
- gäi lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña hä ®−êng dßng..
- VÝ dô T×m ®−êng dßng cña tr−êng vect¬ F = {y.
- x, 1} ®i qua ®iÓm A(1, 1, 0) LËp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n.
- Cho tr−êng vect¬ (D, F ) vµ mÆt cong S tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ lµ n.
- gäi lµ th«ng l−îng cña tr−êng vect¬ F qua mÆt cong S..
- NÕu F lµ tr−êng chÊt láng th× th«ng l−îng chÝnh lµ l−îng chÊt láng ®i qua mÆt cong S theo h−íng ph¸p vect¬ n trong mét ®¬n vÞ thêi gian..
- Cho tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z}.
- Tr−êng v« h−íng div F.
- gäi lµ divergence (nguån) cña tr−êng vect¬ F..
- VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} vµ ®iÓm A(1, 1, -1) Ta cã.
- §Þnh lý Cho F, G lµ c¸c tr−êng vect¬ vµ u lµ tr−êng v« h−íng.
- Theo c«ng thøc trªn, nguån cña tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A lµ l−îng chÊt láng ®i ra tõ.
- ®iÓm A theo h−íng cña tr−êng vect¬ F..
- Cho tr−êng vect¬ (D, F ) vµ ®iÓm A ∈ D.
- VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx}.
- Cho tr−êng vect¬ (D, F ) vµ ®−êng cong Γ kÝn, tr¬n tõng khóc, n»m gän trong miÒn D,.
- gäi lµ hoµn l−u cña tr−êng vect¬ F däc theo ®−êng cong kÝn Γ..
- NÕu F lµ tr−êng chÊt láng th× hoµn l−u lµ c«ng dÞch chuyÓn mét ®¬n vÞ khèi l−îng chÊt láng däc theo ®−êng cong Γ theo h−íng vect¬ T..
- gäi lµ rotation (xo¸y) cña tr−êng vect¬ F..
- VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} vµ ®iÓm A(1, 0, -1) Ta cã.
- Theo c«ng thøc trªn, c−êng ®é cña tr−êng vect¬ rot F theo h−íng ph¸p vect¬ n t¹i ®iÓm A lµ c«ng tù quay cña ®iÓm A theo h−íng trôc quay n..
- VÝ dô Cho tr−êng vect¬ F = {xy, yz, zx} vµ n = {x, y, z}.
- §Þnh lý Cho tr−êng vect¬ <D, F >.
- T¸c ®éng to¸n tö Hamilton mét lÇn chóng ta nhËn ®−îc c¸c tr−êng grad, div vµ rot.
- víi tr−êng v« h−íng u lµ tr−êng vect¬ grad u.
- víi tr−êng vect¬ F lµ tr−êng v« h−íng div F.
- víi tr−êng vect¬ F lµ tr−êng vect¬ rot F.
- Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C 2 div (grad u.
- Víi mäi tr−êng v« h−íng (D, u) thuéc líp C 2.
- Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C 2 div (rot F.
- Víi mäi tr−êng vect¬ (D, F ) thuéc líp C 2 rot (rot F.
- Tr−êng thÕ.
- Tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z} gäi lµ tr−êng thÕ nÕu cã tr−êng v« h−íng (D, u) sao cho F = grad u.
- Hµm u gäi lµ hµm thÕ vÞ cña tr−êng vect¬ F..
- Tõ ®Þnh nghÜa suy ra nÕu tr−êng vect¬ F lµ tr−êng thÕ th×.
- §Þnh lý Tr−êng vect¬ (D, F ) lµ tr−êng thÕ khi vµ chØ khi rot F = 0 Chøng minh.
- Tõ ®ã suy ra tr−êng vect¬ F lµ tr−êng thÕ vµ hµm u lµ hµm thÕ vÞ cña nã..
- Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng thÕ nh− sau..
- Trong tr−êng thÕ kh«ng cã ®iÓm xo¸y rot F = 0.
- Tr−êng èng.
- Tr−êng vect¬ (D, F ) víi F = {X, Y, Z} gäi lµ tr−êng èng nÕu cã tr−êng vect¬ (D, G ) víi G = {X 1 , Y 1 , Z 1 } sao cho F = rot G.
- Tr−êng vect¬ G gäi lµ tr−êng thÕ vÞ cña tr−êng vect¬ F..
- Tõ ®Þnh nghÜa suy ra nÕu F lµ tr−êng èng th×.
- §Þnh lý Tr−êng vect¬ (D, F ) lµ tr−êng èng khi vµ chØ khi div F = 0.
- Tõ c¸c kÕt qu¶ ë trªn suy ra ý nghÜa c¬ häc cña tr−êng èng nh− sau..
- Trong tr−êng èng kh«ng cã ®iÓm nguån div F = 0.
- Trong ®ã S ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto ngoµi n S 0 ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto n 0 ng−îc h−íng víi tr−êng vect¬ F, S 1 ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto n 1 cïng h−íng víi tr−êng vect¬ F.
- ®Þnh h−íng theo ph¸p vecto n 2 vu«ng gãc víi tr−êng vect¬ F..
- Theo tÝnh chÊt cña tr−êng èng vµ tÝnh céng tÝnh cña tÝch ph©n 0.
- Hay nãi c¸ch kh¸c th«ng l−îng cña tr−êng èng ®i qua c¸c mÆt c¾t lµ mét h»ng sè..
- Tr−êng vect¬ (D, F ) gäi lµ tr−êng ®iÒu hoµ nÕu nã võa lµ tr−êng thÕ vµ võa lµ tr−êng èng.
- Tøc lµ cã tr−êng v« h−íng (D, u ) vµ tr−êng vect¬ (D, G ) sao cho.
- 0 (6.8.5) Tøc lµ hµm thÕ vÞ cña tr−êng ®iÒu hoµ lµ hµm ®iÒu hoµ..
- Trong tr−êng ®iÒu hoµ kh«ng cã ®iÓm xo¸y, ®iÓm nguån rot F = 0 vµ div F = 0.
- T×m ®¹o hµm t¹i ®iÓm A theo h−íng vect¬ e cña tr−êng v« h−íng u = xy - z 2 a.
- Cho tr−êng v« h−íng u = x 2 + y 2 - z 2.
- Cho tr−êng b¸n kÝnh r = x 2 + y 2 + z 2.
- T×m Divergence cña c¸c tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A sau ®©y..
- T×m Rotation cña c¸c tr−êng vect¬ F t¹i ®iÓm A sau ®©y..
- Cho (D, u) vµ (D, v) lµ c¸c tr−êng v« h−íng, r = x 2 + y 2 + z 2 lµ tr−êng b¸n kÝnh, cßn hµm f lµ hµm cã ®¹o hµm liªn tôc.
- TÝnh th«ng l−îng cña tr−êng vect¬ F qua mÆt cong S..
- TÝnh hoµn l−u cña tr−êng vect¬ F däc theo ®−êng cong Γ..
- Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng.
- Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2.
- 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng hyperbole 2.
- 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng parabole 3.
- 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng ellipse.
- Thay vµo ph−¬ng tr×nh (7.1.1) nhËn ®−îc a 1 (ξ, η) 2 u 2.
- NÕu ξ vµ η lµ c¸c nghiÖm riªng ®éc lËp cña ph−¬ng tr×nh a(x, y).
- Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (7.1.1) cã d¹ng chÝnh t¾c η.
- Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ϕ(x, y.
- 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm thùc y.
- 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm kÐp

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt