- B ài 12 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ (tt). - II.CHU ỖI SỐ DÝÕNG. - Chu ỗi số ðýợc gọi là chuỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số ðều là số dýõng. - Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi số ðýợc g ọi là chuỗi số không âm. - Lýu ý rằng khi xét t ính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính t ổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số kh ông âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng.. - Nh ận xét rằng dãy các tổng riêng Sn c ủa chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi s ố h ội tụ khi và chỉ khi dãy Sn b ị chặn trên.. - Gi ả sử hai chuỗi số dýõng v à th ỏa ðiều kiện un vn v ới n khá lớn (ngh ĩa là ứng với mọ i n l ớn hõn một số n 0 n ào ðó). - N ếu h ội tụ thì h ội tụ.. - Hai chu ỗi số dýõng v à h ội tụ khi và chỉ khi chuỗi h ội. - V í dụ: Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - V ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát h ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ðýợc. - ph át biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số h ội tụ.. - N ếu tồn tại giới hạn v ới L là một số thực dýõng thì các chuỗi số. - d ýõng v à c ùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.. - N ếu th ì từ sự hội tụ của chuỗ i s ẽ kéo theo sự hội tụ của. - chu ỗi , v à từ sự phân kỳ của chuỗi s ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi. - N ếu th ì từ sự hội tụ của chuỗi s ẽ kéo theo sự hội tụ của. - Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dýõng v à c ùng hội tụ ho ặc cùng phân kỳ.. - Ðể áp dụng các tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của m ột số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. - ðây về sự hội tụ của chuỗi. - Chu ỗi h ội tụ. - 1) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - chu ỗi c ũng phân kỳ.. - 2) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - V ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát h ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có. - chu ỗi c ũng hội tụ.. - 3) Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi số. - Ðịnh lý: (Ti êu chuẩn d’ Alembert) Xét chuỗi số dýõng. - th ì chuỗi số h ội tụ.. - th ì chuỗi số ph ân kỳ.. - T ừ ðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ d ’ Alembert:. - H ệ quả: Cho chu ỗi số dýõng . - 1 th ì chuỗi số h ội tụ.. - 1 th ì chuỗi số ph ân kỳ.. - chu ỗi số dýõng h ội tụ hay phân kỳ. - h ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện. - và chuỗi l à một ví dụ cho tr ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện. - 1) X ét chuỗi số v ới x là một số thực cho trýớc. - Khảo sát sự hội tụ của chu ỗi số.. - S ố hạng thứ n của chuỗi số là . - Nh ận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều b ằng 0 nên c hu ỗi hội tụ. - V ậy chuỗi h ội tụ với mọi x.. - Suy ra chu ỗi ph ân kỳ.. - Ðịnh lý: (Ti êu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng. - X ét chuỗi số v ới x là một số thực cho trýớc. - Khảo s át sự hội tụ của chuỗi số.. - T ừ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi h ội tụ với mọi x.. - X ét sự hội tụ của chuỗi số. - N ếu chuỗi số c ó dạng , ngh ĩa là v ới mọi n. - h ội tụ h ội tụ V í dụ:. - 1) X ét sự hội tụ của chuỗi ðiều hòa mở rộng. - 1) kh ông hội tụ về 0 nên chuỗi phân k ỳ. - D ễ thấy rằng các tiêu chuẩn d’ Alembert v à tiêu chuẩn cãn th ức Cauchy ðều không cho ta kết luận ðýợc về tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số.. - t ích phân suy rộng h ội tụ khi và chỉ khi >. - 1 n ên chuỗi h ội tụ khi v à chỉ khi. - h ội tụ. - 2) X ét sự hội tụ của chuỗi. - S ố hạng thứ n c ủa chuỗi số là . - Cho d ãy a n c ác số dýõng, chuỗi số có số hạng tổng quát u n = (-1) na n hay u n. - Liên quan ðến chuỗi ðan dấu ta có tiêu chuẩn hội tụ leinitz nh ý sau:. - th ì chuỗi hội tụ. - Hõn nữa tổng S của chuỗi thỏa 0 <. - V í dụ : Kh ảo sát sự hội tụ của chuỗi. - l à dãy số dýõng giảm và hội tụ về 0. - Vậy chuỗi số l à chuỗi Leibnitz nên chu ỗi hội tụ.. - H ội tụ tuyệt ðối Ðịnh nghĩa:. - Chu ỗi số (có dấu bất kỳ) ðýợc gọi là h ội tụ tuyệt ð ối n ếu chuỗi h ội tụ.. - Chu ỗi số ðýợc gọi là b án hội tụ n ếu chuỗi h ội tụ nhýng chu ỗi. - Ghi ch ú : Chu ỗi kh ông dẫn tới sự hội tụ của chuỗi . - 1) Chu ỗi h ội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nhýng chuỗi ðiều hòa. - Vậy chuỗi l à bán hội tụ.. - 2) X ét chuỗi c ó số hạng tổng quát. - v à chuỗi ðiều hòa mở rộng h ội tụ. - Suy ra chuỗi h ội tụ theo tiêu. - Vậy chuỗi h ội tụ tuyệt ðối.. - N ếu chuỗi h ội tụ thì chuỗi h ội tụ và. - D ýới ðây là một số tính chất ðã ðýợc chứng minh li ên quan ðến các chuỗi hội tụ tuy ệt ðối.. - N ếu chuỗi h ội tụ tuyệt ðối thì khi thay ðổi vị trí các số hạng của chuỗi một c ách tùy ý ta vẫn ðýợc một chuỗi mới hội tụ tuyệt ðối và có cúng tổng với chuỗi ban ðầu.. - N ếu các chuỗi v à h ội tụ tuyệt ðối và có tổng lần lýợt là S và T thì chu ỗi gồm mọi số hạng (i = 1, 2. - n) theo một thứ tự bất kỳ lu ôn hội tụ tuyệt ðối v à có tổng bằng ST.. - CHU ỖI HÀM 1. - Khi ðó với mỗi x E ta c ó chuỗi số. - m à chuỗi h ội tụ ðýợc gọi là ð iểm hội tụ . - ta c ũng nói chuỗi hàm hội tụ tại x 0 . - T ập tất cả các ðiểm hội t ụ ðýợc gọi là mi ền hội tụ c ủa chuỗi hàm. - Gọi D là miền h ội tụ của chuỗi lũy thừa, ta có:. - Sn(x) ðýợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi h àm, S(x) là tổng của chuỗi hàm và Rn(x) là phần dý thứ n của chuỗi hàm. - V ới mọi x D ta c ó , n ên , ngh ĩa là phần dý c ủa chuỗi hàm hội tụ ðến 0 khi n. - 1) T ìm miền hội tụ của chuỗi hàm. - Ðã biết rằng chuỗi số h ội tụ khi và chỉ khi >. - h ội tụ khi và chỉ khi ln(x) >. - Suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm là D = (e. - 2) T ìm miền hội tụ của chuỗi hàm. - V ới mỗi x, chuỗi số. - Theo ti êu chuẩn hội tụ d’ Alembert ta có:. - 0 : chu ỗi. - hội tụ.. - 1 x = 0 : chu ỗi. - V ậy miền hội tụ của chuỗi hàm l à D. - 3) T ìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt