- BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN PHÂN BỐ VÀ ĐIỀU KHIỂN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH. - Điều khiển biên, điều khiển phân bố, điều kiện tối ưu, ổn định Lipschitz toàn bộ, sự tồn tại nghiệm. - Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện tối ưu, và sự ổn định nghiệm cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu liên quan đến các phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - Trong lớp các bài toán điều khiển tối ưu này, các điều khiển phân bố và điều khiển biên sẽ cùng được xem xét, đồng thời chúng có thể xuất hiện phi tuyến trong phương trình trạng thái.. - Đây là một lớp bài toán khá tổng quát và phức tạp, việc nghiên cứu chúng thật thú vị và rất có ý nghĩa khoa học.. - Bài toán điều khiển phân bố và điều khiển biên cho phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính. - Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm, các điều kiện tối ưu, và sự ổn định nghiệm cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu liên quan đến các phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính được mô hình hóa như sau:. - 𝜓(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑢(𝑥))𝑑𝑠 Γ (1.1) thỏa điều kiện. - và các ràng buộc điều khiển. - Ta ký hiệu tập các điều khiển chấp nhận được lần lượt là. - Các điều khiển 𝑣 ∈ 𝑉 𝑎𝑑 được gọi là các điều khiển phân bố, và các điều khiển 𝑢 ∈ 𝑈 𝑎𝑑 được gọi là các điều khiển biên.. - Trong mô hình bài toán điều khiển tối ưu (1.1)–. - (1.3), ta thấy rằng cả hai biến điều khiển phân bố và điều khiển biên đều được xét tới. - Vì vậy, mô hình bài toán này tổng quát hơn một số mô hình được xem xét trước đây Tröltzsch (2010) (Chapter 4) mà ở đó các điều khiển phân bố và các điều khiển biên được xét riêng trong các trường hợp khác nhau. - Chú ý rằng mô hình bài toán của chúng tôi trong bài báo này cũng được nhắc đến trong Tröltzsch (2010) (Chapter 4), tuy nhiên việc nghiên cứu mô hình này một cách bài bản và chi tiết vẫn chưa được thực hiện.. - Do đó, việc triển khai nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu là rất cần thiết và mang lại nhiều ý nghĩa khoa học.. - Mục 2 nêu lên các giả thiết căn bản của lý thuyết điều khiển tối ưu và chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình trạng thái và sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán . - Trong Mục 3, chúng tôi sẽ nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho bài toán dưới các giả thiết đã nêu. - Mục 4 khảo sát sự ổn định Lipschitz toàn bộ cho các điều kiện cần của bài toán được thiết lập dưới dạng các bất đẳng thức biến phân (tức là, các phương trình suy rộng, theo Robinson (1979)).. - Để thiết lập các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình trạng thái (1.2) và sự tồn tại nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu ta cần đến các giả thiết căn bản của lý thuyết điều khiển tối ưu sau đây:. - Hơn nữa, tồn tại các tập 𝐸 𝑑 ⊂ Ω và 𝐸 𝑏 ⊂ Γ có độ đo dương và các hằng số 𝜆 𝑑 >. - (A4) Các hàm 𝑣 𝑎 , 𝑣 𝑏 ∈ 𝐿 ∞ (Ω) và 𝑢 𝑎 , 𝑢 𝑏 ∈ 𝐿 ∞ (Γ) thỏa mãn điều kiện. - và điều kiện 𝜕 𝒏 𝑦. - 𝑊 1,2 (Ω) là một không gian Sobolev) được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.2) nếu. - Định lý sau đây cho ta một kết quả như một minh họa về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình trạng thái (1.2) ứng với một lớp các hàm 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑣) và 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢).. - Định lý 2.1. - Khi đó, nếu các hàm 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑣) và hàm 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢) trong phương trình trạng thái (1.2) được biểu diễn dưới dạng. - 𝐿 ∞ (Γ) cho trước, phương trình trạng thái (1.2) có một nghiệm yếu duy nhất 𝑦 ∈ 𝐻 1 (Ω. - Liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình trạng thái (1.2) có thể xem thêm Bayen et al.. - Từ Định lý 2.1 và Nhận xét 2.1 ta có thể giả thiết rằng tồn tại các nghiệm yếu của phương trình trạng thái (1.2) dưới các giả thiết đã cho. - Ta ký hiệu toán tử nghiệm yếu của phương trình trạng thái (1.2) như sau 𝐺: 𝐿 ∞ (Ω. - 𝐿 𝜚 (Ω) và bán kính 𝜀, và ký hiệu 𝐵̅ 𝜀 𝜚 (𝑢̅) là quả cầu đóng tương ứng của 𝐵 𝜀 𝜚 (𝑢̅) trong không gian 𝐿 𝜚 (Ω). - Một cặp điều khiển (𝑣̅, 𝑢. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 được gọi là cặp điều khiển tối ưu (hay nghiệm toàn cục) của bài toán ứng với trạng thái tối ưu 𝑦. - Cặp điều khiển (𝑣̅, 𝑢. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 được gọi là cặp điều khiển tối ưu địa phương (hay nghiệm địa phương) của bài toán theo nghĩa 𝐿 𝜚 (Ω. - 𝐽(𝑦, 𝑣, 𝑢) với mọi cặp điều khiển (𝑣, 𝑢. - Định lý 2.2. - Khi đó, bài toán có ít nhất một điều khiển tối ưu (𝑣̅, 𝑢. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 với trạng thái tối ưu tương ứng 𝑦. - Trong Tröltzsch (2010) (Theorem 4.15), sự tồn tại nghiệm (điều khiển tối ưu) cho bài toán điều khiển tối ưu phân bố đã được phát biểu và chứng minh chi tiết. - Chú ý rằng trong Tröltzsch (2010) (Theorem 4.15) điều khiển biên đã không được xét đến. - Trong bài toán điều khiển tối ưu (1.1)–. - (1.3) thì cả hai biến điều khiển phân bố và điều khiển biên đều được xem xét. - Tuy nhiên, các kỹ thuật chứng minh cho Tröltzsch (2010) (Theorem 4.15) vẫn có thể áp dụng để chứng minh cho sự tồn tại nghiệm của bài toán . - 3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU. - Trong mục này, bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lagrange chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu . - cho bài toán điều khiển tối ưu được định nghĩa một cách hình thức như sau. - được định nghĩa hình thức bởi (3.1) không mang lại nhiều ý nghĩa áp dụng vì tính đặc thù trong cấu trúc của bài toán (1.1)–. - về dạng tương đương và tiện dụng để thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán . - được cho trong (3.4) để thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán trong định lý dưới đây.. - Định lý 3.1. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 là điều khiển tối ưu của bài toán với trạng thái tối ưu tương ứng 𝑦. - thỏa mãn điều kiện:. - được định nghĩa bởi (3.4), ta viết lại bài toán điều khiển tối ưu dưới dạng như sau:. - min 𝓛(𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑝) với điều kiện 𝑦 ∈ 𝐻 1 (Ω. - thỏa mãn điều kiện (3.5). - lần lượt theo các biến 𝑦, 𝑣 và 𝑢, ta sẽ thu được các điều kiện cần tối ưu dạng hiển. - theo các hướng 𝑦, 𝑣 và 𝑢, và từ đó thiết lập các điều kiện cần tối ưu dạng hiển thông qua các dữ liệu đã cho.. - Định lý 3.2. - thỏa các điều kiện:. - thỏa phương trình. - 𝐷 𝑦 𝓛(𝑦̅, 𝑣̅, 𝑢̅, 𝑝)𝑦 = 0, ∀𝑦 ∈ 𝐻 1 (Ω) khi và chỉ khi 𝑝 là nghiệm yếu của bài toán giá trị biên tuyến tính sau đây. - trong đó 𝑝 là nghiệm yếu của bài toán giá trị biên tuyến tính (3.11). - Chúng tôi trích dẫn lại một ví dụ trong Tröltzsch (2010) (page 222) để minh họa cho các kết quả về điều kiện tối ưu đã được thiết lập trong Định lý 3.1 và Định lý 3.2 sau đây.. - Xét bài toán điều khiển tối ưu min 𝐽(𝑦, 𝑣, 𝑢. - thỏa điều kiện. - 𝒏 𝑦 + |𝑦|𝑦 3 = 𝑢 4 trên Γ (3.15) và các ràng buộc điều khiển. - Trong bài toán này, các hàm 𝜑, 𝑑: Ω × ℝ × ℝ → ℝ xác định bởi. - Do đó, ta có thể áp dụng Định lý 3.1 và Định lý 3.2 để thiết lập điều kiện cần cho các điều khiển tối ưu như sau. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 là các điều khiển tối ưu cho bài toán điều khiển với trạng thái tối ưu tương ứng là 𝑦. - (𝑦̅ là nghiệm yếu của phương trình trạng thái (3.15. - của phương trình liên hợp. - 𝒏 𝑝 + 4𝑦̅ 2 |𝑦̅|𝑝 = 0 trên Γ (3.21) thỏa mãn các bất đẳng thức biến phân (3.8) và (3.9) trong Định lý 3.2 sau đây. - Việc mô tả một nghiệm yếu của phương trình liên hợp (trạng thái liên hợp, hay hàm số 𝑝) dưới dạng một hàm số cụ thể thỏa mãn các giả thiết đã cho có thể xem thêm trong Qui and Wachsmuth (2018).. - Các điều kiện cần tối ưu được thiết lập trong Định lý 3.1 và Định lý 3.2 là rất quan trọng vì chúng được biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức biến phân và hướng nghiên cứu về sự ổn định nghiệm cho các bất đẳng thức biến phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong toán học.. - Vì vậy, dựa vào các kết quả tổng quát của hướng nghiên cứu về sự ổn định nghiệm cho các bất đẳng thức biến phân, ta có thể suy ra các kết quả ổn định cho các bài toán điều khiển tối ưu có tham số.. - Ta nhận thấy rằng các điều kiện đủ tối ưu cho bài toán với cặp điều khiển phân bố và điều khiển biên xuất hiện đồng thời vẫn chưa được trình bày trong Tröltzsch (2010), thậm chí theo chúng tôi hướng nghiên cứu này vẫn còn là một hướng mở. - Vấn đề nghiên cứu các điều kiện đủ tối ưu cho bài toán khá phức tạp nhưng rất thú vị, chúng tôi sẽ xem xét vấn đề này trong tương lai.. - Chú ý rằng trong một số trường hợp đặc biệt khái niệm này tương đương với khái niệm ổn định toàn bộ của các bài toán tối ưu có tham số.. - Liên quan đến sự ổn định Lipschitz toàn bộ cho các nghiệm địa phương của bài toán tối ưu có tham số độc giả có thể xem Levy et al. - Trong một số trường hợp đặc biệt đối với bài toán mà ở đó hàm mục tiêu không chứa dạng toàn phương đối với biến điều khiển thì bài toán sẽ có cấu trúc bang- bang. - Một số công trình về lớp bài toán điều khiển bang-bang chẳng hạn như Casas (2012), Casas et al.. - Như ta đã biết trong Mục 2 rằng nếu các giả thiết (A1)–(A4) được thỏa mãn thì với mọi cặp điều khiển (𝑣, 𝑢. - 𝐿 ∞ (Γ) phương trình trạng thái (1.2) luôn có một nghiệm yếu duy nhất 𝑦 ∈ 𝐻 1 (Ω. - 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 là điều khiển tối ưu địa phương của bài toán thì (𝑣̅, 𝑢̅) thỏa phương trình suy rộng sau đây:. - Ta xét phương trình suy rộng có tham số dưới đây. - 𝐿 2 (Γ) được gọi là tham số nhiễu xiên của phương trình suy rộng (4.4). - 𝐿 2 (Γ) là ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng có tham số (4.4) xác định bởi. - Xét cặp điều khiển (𝑣̅, 𝑢. - Với cặp điều khiển (𝑣̅, 𝑢. - Định lý sau đây thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ của sự ổn định Lipschitz toàn bộ cho các nghiệm của phương trình suy rộng (4.4). - Trong mô hình bài toán điều khiển tối ưu chúng tôi chứng minh được rằng tập ràng buộc của phương trình suy rộng (4.4) luôn thỏa tính chất polyhedric.. - Định lý 4.1. - thì điều kiện xác định dương sau đây thỏa mãn. - 𝐿 2 (Γ) và điều kiện xác định dương sau đây thỏa mãn. - thì cặp điều khiển (𝑣̅, 𝑢̅) là một nghiệm ổn định Lipschitz toàn bộ của (4.4) tương ứng với bộ tham số (𝑣. - Dựa vào cấu trúc của các tập điều khiển chấp nhận được 𝑉 𝑎𝑑 và 𝑈 𝑎𝑑 xác định bởi (1.4) và (1.5) và áp dụng Bayen et al. - (2018) (Theorem 8.4) ta suy ra các khẳng định (i) và (ii) của định lý. - Ta có thể mở rộng nghiên cứu sự ổn định Lipschitz toàn bộ cho các nghiệm của phương trình suy rộng (4.4) sang phương trình suy rộng sau đây. - (4.14) Nghĩa là, trong (4.13) và (4.14) tập điều khiển chấp nhận được 𝑉 𝑎𝑑 × 𝑈 𝑎𝑑 bị tác động bởi nhiễu 𝜔 ∈ 𝑊, và ta có tập điều khiển chấp nhận được nhiễu tương ứng là 𝑉 𝑎𝑑 (𝜔