- ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP. - PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ. - Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103. - 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng. - 1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. - 1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá. - 1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá. - 1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định. - 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 22 2.1 Đa tạp tâm ổn định. - 2.2 Đa tạp không ổn định. - 3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. - 3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. - 3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. - trong đó ω. - X là không gian Banach.. - E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R. - E R là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R. - X ) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X , xác định trên R + với chuẩn kuk. - 0 , ký hiệu C = C([−r, 0], X ) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0. - Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du. - trong đó I = R + hoặc R , A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.. - Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn định). - Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét.. - Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ các toán tử (A(t)) t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. - Những kết quả nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. - Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = R n và A(t) là các ma trận). - Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X . - Tiếp theo, Henry [21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. - Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem và các tài liệu tham khảo trong đó). - Có hai phương pháp. - chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron. - để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. - Phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. - Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. - Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.. - Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. - Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là kf (t, φ. - Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem . - Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.. - Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25. - ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được. - Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là . - Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. - Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]).. - Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].. - Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. - trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. - Khi họ tiến hoá (U (t, s)) t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R + có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ -Lipschitz, tức là kf (t, x. - f (t, y)k ≤ ϕ(t)kx − yk với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. - Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25. - Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s)) t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. - Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.. - Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. - trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định. - f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. - Khi họ toán tử (A(t)) t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. - Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là kf (t, φ. - Tuy nhiên, đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem . - Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. - cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ -Lipschitz, tức là kf (t, φ 1. - f (t, φ 2 )k ≤ ϕ(t)kφ 1 − φ 2 k C , khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện sup t∈I R t+1. - Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến tính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân được xây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác định trên X . - Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không áp dụng được. - Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t. - Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. - Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.. - Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R + (xem . - Sử dụng một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả). - Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.. - Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên R + được gọi là không gian hàm Banach trên ( R. - (1) (E, k · k E ) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E , ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ. - tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R + tồn tại β J >. - Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không gian hàm Banach E hay không.. - Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel trên R + sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này. - Do ψ bị chặn cốt yếu trên J nên tồn tại M >. - Do E là không gian hàm Banach nên. - Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn. - (i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho Z b. - (ii) E là bất biến với toán tử Λ 1 , trong đó Λ 1 ϕ(t. - trong đó. - Hơn nữa, tồn tại N 1 , N 2 >. - Không gian L p ( R. - và không gian. - t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận được. - Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian Lorentz L p, q với 1 <. - cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được.. - Huy Inertial manifolds for a class of non- autonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and con- tinuous Dyn. - Valls Center manifolds for nonuniformly partially hyper- bolic diffeomorphisms", J. - Valls Smoothness of invariant manifolds for nonau- tonomous equations", Comm. - Valls Higher regularity of invariant manifolds for nonau- tonomous equations", Nonlinearity, 18, pp. - Valls Stable manifolds for nonautonomous equations with- out exponential dichotomy", J. - Valls Smooth center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic trajectories", J. - Jones Invariant manifolds for semilinear partial differential equations", Dyn. - Rezounenko Inertial manifolds for retarded semilinear prabolic equations", Nonlinear Anal., 34, pp. - Temam Inertial manifolds for nonlinear evolution- ary equations", J. - Huy Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations", J. - Huy Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admis- sible spaces", J. - Huy Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admis- sibility of function spaces on a half-line", J. - Sell Inertial manifolds for reaction–diffusion equa- tions in higher space dimensions", J. - Wu Invariant manifolds of partial functional differential equations", J