- PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG LỊCH SỬ. - Do khuôn khổ của bài viết, chúng tôi không trình bày phần phân tích lịch sử hình thành các khái niệm tích phân, vi phân theo thứ tự thời gian, mà sẽ tập trung vào việc chỉ ra bài toán gắn liền với chúng và những phương pháp giải quyết đã từng được sử dụng qua các thời kỳ khác nhau. - Các phương pháp được nhóm lại theo đặc trưng và theo sự tiến triển của chúng. - BÀI TOÁN CẦU PHƯƠNG VÀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN. - Đến tận thế kỷ 17 phép tính tích phân mới được xây dựng thành một lý thuyết toán học độc lập, nhưng thực ra thì cội nguồn của nó đã có từ thời Hy Lạp cổ đại. - Phép tính này được ra đời từ bài toán cầu phương, cầu tích, cầu trường 1 . - Do trong lịch sử cả ba bài toán đều được giải theo cùng một cách thức, ta sẽ chỉ xem xét dưới đây những phương pháp đã từng được hình thành trong lịch sử nhằm giải quyết vấn đề cầu phương.. - Phương pháp dựa vào thuyết “nguyên tử”. - Vào thời cổ đại, bài toán xác định diện tích các hình và thể tích các vật thể đã được đặt ra. - Người Ai Cập và Babylone cổ đã có thể tính diện tích và thể tích của một số hình đơn giản theo đúng những công thức chúng ta dùng ngày nay.. - Vấn đề đặt ra là tìm cơ sở lý thuyết cho các công thức đó và một quy tắc tổng quát cho phép tính diện tích, thể tích những hình phức tạp hơn.. - 1 Theo Từ điển toán học thông dụng, cầu phương là phép tính diện tích một hình, chẳng hạn như diện tích của hình giới hạn bởi một đường cong kín (đường tròn, elip. - Áp dụng thuyết nguyên tử vào toán học, Democrite tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng. - Điều đó đặt ra yêu cầu “cần phải nghiên cứu và sử dụng những phương pháp mà bên cạnh các hình thức suy luận khác nhau về các đại lượng vô cùng bé còn có các yếu tố của sự chuyển qua giới hạn” (K.A. - Phương pháp “Vét kiệt”. - Người đầu tiên xây dựng một phương pháp cho phép chuyển qua giới hạn là Eudoxe (410-356 trước CN). - Phương pháp của ông - được gọi là phương pháp. - Bằng phương pháp vét kiệt, Eudoxe đã chứng minh được tính đúng đắn của các công thức tính thể tích hình nón, hình tháp mà người Hy lạp cổ đại đã từng sử dụng. - Phương pháp của Eudoxe thỏa mãn các đòi hỏi cao về tính chặt chẽ toán học. - Với phương pháp này, người ta cứ việc chia nhỏ và vét kiệt các hình cần tính diện tích hay thể tích.. - Nhưng trong phương pháp vét kiệt người ta không nêu bật lên được ý tưởng về đại lượng biến thiên, giới hạn cùng những tính chất tổng quát của nó. - Hơn nữa, theo ngôn ngữ toán học hiện đại thì định lí về tính duy nhất của giới hạn đã được sử dụng, nhưng nó chỉ được chứng minh riêng cho từng bài toán cụ thể chứ không phải cho trường hợp tổng quát. - Archimède (thế kỷ thứ 3 trước CN) là một trong những người có những ứng dụng đẹp nhất của phương pháp vét kiệt để cầu phương các hình, cầu tích các thể, cầu trường các cung và xác định trọng tâm của vật thể.. - Rồi ông dùng phản chứng để chứng minh A bằng diện tích của B.. - Nói một cách chính xác thì Archimède giải bài toán cầu phương bằng cách. - Với phương pháp này, ông đã tính được nhiều diện tích và thể tích. - Tuy nhiên, ông không xem xét phương pháp ở góc độ khái quát mà cứ lặp lại các bước như vậy đối với từng bài toán riêng biệt.. - Nhiều thế kỷ sau, phương pháp dùng các hình nội tiếp để vét kiệt vẫn còn được một số nhà toán học khác sử dụng để giải bài toán cầu phương trong từng trường hợp cụ thể. - Chẳng hạn, nhà bác học ở Bagdad là Thabit Ibn Qurra đã tìm diện tích hình phẳng xác định bởi 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ x bằng phương pháp này (tham khảo [5]).. - Phương pháp “cơ học” và phương pháp “bất khả phân”. - Phương pháp cơ học cũng do Archimède đề nghị. - Trong bức thư gửi cho Eratosthene, mới được tìm thấy vào năm 1906, Archimède nêu rõ phương pháp cơ học mà ông đã dùng để giải các bài toán hình học. - Về thực chất, phương pháp này thể hiện ý tưởng lập hình phẳng từ các đường và vật thể từ các mặt phẳng. - Phương pháp cơ học do Archimède đề nghị từ thời cổ lại rất gần với phương pháp các bất khả phân do nhà toán học người Ý Cavalieiri xây dựng sau đó gần 20 thế kỷ.. - Diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) được xem là tổng. - diện tích (thể tích) của tất cả các bất khả phân được lấy đồng thời (tham khảo Howard Eves, 1993, tr.121-125).. - Phương pháp các bất khả phân của Cavaleiri có những mặt hạn chế của nó.. - Thứ nhất, về mặt lý luận thì việc dựa vào các bất khả phân (đường thẳng không có bề rộng, mặt phẳng không có bề dày) chưa cho phép ông phán đoán gì về diện tích hay thể tích của hình ban đầu. - Cũng vì thế mà không thể vận dụng trực tiếp phương pháp này vào việc giải bài toán cầu trường, vì các bất khả phân ở đây (các điểm) không có kích thước. - Thứ ba, cách giải các bài toán cầu phương của Cavaleiri quá cồng kềnh vì đã không sử dụng phương pháp tính toán và hệ thống kí hiệu của đại số.. - Nhiều người đã cố gắng khắc phục những hạn chế của phương pháp do Cavaleiri đề nghị. - Như thế, Pascal đã làm phương pháp các bất khả phân trở nên đơn giản hơn nhờ cách số học hóa bài toán hình học mà ông muốn giải quyết. - Phương pháp tính tổng trực tiếp trên các đại lượng vô cùng bé. - Ở Châu Âu, vào thế kỷ 16 -17, sự phát triển của một số khoa học khác lại đặt toán học trước các bài toán về cầu phương, cầu tích và xác định trọng tâm.. - Nhiều nhà bác học quay trở lại nghiên cứu các công trình của Archimède nhằm tìm ra một phương pháp tổng quát hay phát hiện những khái niệm chung, những tính chất ẩn sâu trong nền tảng các chứng minh cho từng trường hợp riêng lẻ của ông.. - Trong số những người Châu Âu cận đại sớm phát triển tư tưởng về khái niệm vô cùng bé liên quan tới phép tính tích phân phải đặc biệt nói đến Iohan Kepler . - Khi nghiên cứu các công trình của Archimède, giống như những người thời đó ít kiên tâm về sự khắt khe, chu đáo của phương pháp vét kiệt, Kepler thích một cách thức mang tính trực giác hơn - tính tổng trực tiếp trên các đại lượng vô cùng bé. - Phương pháp này được Kepler mở rộng sang cả những những vật thể tròn xoay và ông đã tính được nhiều diện tích, thể tích.. - Phương pháp lập tổng trên và tổng dưới. - Gần nhất với phép lấy tích phân ngày nay là phương pháp về các hình nội tiếp và ngoại tiếp, cũng do Archimède là người đầu tiên trình bày, trong các tác phẩm “Về hình cầu và hình trụ”, “Về các đường xoắn”, “Về các cônôit và phỏng cầu” của ông.. - Ông lập luận: diện tích hình ban đầu nhỏ hơn tổng diện tích các hình ngoại tiếp (tổng trên) và lớn hơn tổng diện tích các hình nội tiếp (tổng dưới).. - Đối với từng bài toán cụ thể, ông chọn các hình xấp xỉ trên và dưới sao cho hiệu các diện tích có thể nhỏ tùy ý, từ đó suy ra diện tích cần tìm.. - Trong phương pháp của Archimède ta thấy đã có những tư tưởng của tích phân: chia hình ra thành từng miếng nhỏ, xấp xỉ trên và dưới từng miếng nhỏ rồi lấy tổng của những xấp xỉ đó. - Nhưng, phương pháp tích phân cổ đại dựa trên khái niệm diện tích một cách trực giác, không được định nghĩa chặt chẽ, và không sử dụng các công cụ đại số – số học. - Hơn nữa, cũng như các nhà toán học cổ đại khác, Archimède chỉ giải được bài toán tính diện tích cho từng trường hợp riêng lẻ mà không phân tích và phát biểu cơ sở lý thuyết tổng quát. - Phương pháp của Archimède về sau được hoàn thiện bởi những nhà toán học như Pascal, Fermat. - Chẳng hạn, để tính diện tích hình viên phân xác định bởi 0 ≤ x ≤ α . - Fermat gọi phương pháp này là phương pháp Loga.. - Rõ ràng là phương pháp Loga nằm trong phạm trù của phương pháp lập các tổng trên và tổng dưới. - Tuy nhiên, nếu như Archimède chỉ giải quyết từng bài toán riêng lẻ thì Fermat, trên quan điểm của hình học giải tích mà ông là người sáng lập cùng với Descartes, đã xây dựng được một phương pháp mang tính khái quát cao và cho phép phát triển khía cạnh thuật toán trên các vô cùng bé.. - NHỮNG BÀI TOÁN GẮN LIỀN VỚI CỘI NGUỒN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN. - Một điều đáng chú ý là về mặt lịch sử thì thứ tự xuất hiện hai phép tính vi phân và tích phân khác với cách trình bày chúng trong các giáo trình toán học ngày nay: trong thực tế, phép tính tích phân ra đời trước phép tính vi phân.. - Phép tính thứ hai này sinh ra từ việc giải bài toán vẽ tiếp tuyến của các đường cong, tìm các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số, và tìm vận tốc tức thời của một chuyển động. - Phương pháp xác định cực đại và cực tiểu của Fermat. - Cụ thể là xuất phát từ nguyên lý dừng của Kepler (“số gia của một hàm số sẽ trở nên nhỏ tới mức triệt tiêu tại lân cận của một giá trị cực đại hoặc cực tiểu thường”) Fermat đã đưa ra một phương pháp để xác định các cực đại và cực tiểu của hàm số f. - Theo ký hiệu hiện đại, phương pháp của ông có thể được mô tả sau:. - Phương pháp xác định tiếp tuyến của Fermat. - Với cách hiểu này, ông đã giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại M(x;y), theo một quy trình tương tự với quy trình đã được sử dụng trong lời giải bài toán xác định cực đại, cực tiểu. - Chính ông đã nhấn mạnh tính thống nhất của các phương pháp tính toán trong hai bài toán trên. - Nhưng ông không nêu bật được khái niệm cơ bản của phép tính vi phân - đạo hàm và vi phân, cũng như không lưu ý tới mối quan hệ giữa những bài toán này và bài toán cầu phương đã có trước đó.. - Tuy nhiên, phải công nhận rằng ông đã có đóng góp quan trọng cho sự phát triển các ý tưởng của phép tính này.. - MỐI LIÊN HỆ GIỮA PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 3.1. - Bài toán dẫn đến sự phát hiện ra mối liên hệ. - Cùng với bài toán dựng tiếp tuyến, trong toán học cũng như các lĩnh vực khoa học khác xuất hiện những bài toán dạng: xác định các đường cong xuất phát tư tính chất chung của tất cả các tiếp tuyến với chúng. - Theo ngôn ngữ hiện đại, giải bài toán này tương đương với việc giải phương trình vi phân cấp một có ẩn hàm y.. - Descartes là người đầu tiên bắt tay vào việc tìm một phương pháp tổng quát để giải những bài toán loại này. - Về phương diện thực hành, phương pháp của Decartes tỏ ra không khả thi.. - Vấn đề phân loại đường cong gây cho ông một số rắc rối khi giải nhiều bài toán.. - Tuy nhiên, chính là thông qua việc giải những bài toán xác định đường cong nêu trên mà dần dần tính chất ngược nhau của loại bài toán này và loại bài toán vạch tiếp tuyến đã được chỉ rõ.. - Hình thành mối liên hệ giữa phép tính vi phân và tích phân. - x Nhà toán học Anh Isacc Barrow được xem là người đầu tiên nhận rõ mối liên hệ giữa bài toán xác định tiếp tuyến và bài toán cầu phương.. - bằng hai phương pháp khác nhau - một dựa vào quan điểm động học và một là phương pháp hình học trong đó có sử dụng công thức tính diện tích hình thang cong.. - Như thế, Barrow đã nhận ra mối quan hệ thuận nghịch giữa phép tính vi phân và tích phân. - Tuy nhiên, việc chưa thiết lập được dưới dạng tổng quát những khái niệm cơ bản của phép tính vi – tích phân, việc trình bày mối liên hệ này bằng ngôn ngữ hình học đã ngăn cản ông diễn đạt một cách tường minh ý tưởng của mình.. - Kể từ khám phá mới này của Barrow, hai phép tính vi phân, tích phân và mối quan hệ giữa chúng luôn gắn kết chặt chẽ với nhau trong những công trình nghiên cứu của các nhà toán học.. - Mặc dầu có nhiều nhà toán học dần tiếp cận với các phép tính vi – tích phân, nhưng Newton và Leibniz mới được coi là những người phát minh ra chúng.. - Newton xét moment diện tích oS (số gia ΔS của diện tích) khi x 0 tăng thêm một lượng vô cùng bé ký hiệu o (số gia Δx 0 của x 0. - nhận thấy tỉ số biến thiên của diện tích ( o. - Để xác định phần diện tích S thì Newton lại đảo ngược các thao tác lấy đạo hàm, nêu rõ mối liên hệ giữa bài toán tính diện tích và bài toán đạo hàm. - Tích phân, theo quan niệm của ông, trước hết là tích phân không xác định, như là nguyên hàm bất kỳ được tính bằng cách đảo ngược kết quả của bài toán tính đạo hàm. - Hơn nữa, cũng từ phương pháp giải bài toán cầu phương, cầu tích đã sử dụng mà họ có thể chứng minh được. - Euler, Lagrange, D’Alembert, và nhiều người khác đã cố gắng làm cho phép tính vi - tích phân trở nên chặt chẽ hơn. - Trong lịch sử, hai phép tính vi phân và tích phân đã được phát hiện hoàn toàn độc lập với nhau. - Mầm mống của phép tính tích phân đã có từ thời Hy Lạp cổ đại, trong các công trình của Archimède, liên quan đến vấn đề cầu phương, cầu tích, cầu trường. - Đứng trước một hình phẳng cụ thể, mỗi nhà toán học có một quan niệm riêng về diện tích và kỹ thuật tính đặc thù. - Trải qua hàng ngàn năm, người ta mới tìm ra một phương pháp tổng quát cho phép giải quyết vấn đề, và khái niệm tích phân mới xuất hiện tường minh, vì sự ra đời của nó (cũng như của phép tính vi phân) đòi hỏi các kiến thức về đại lượng biến thiên, vô cùng bé và giới hạn.. - Vào thế kỷ 17, hoàn toàn độc lập với phép tính tích phân, những tư tưởng của phép tính vi phân mới được hình thành qua nghiên cứu của Fermat trên việc giải các bài toán tìm tiếp tuyến, cực đại, cực tiểu của hàm số và việc nghiên cứu các chuyển động. - Fermat đã nhấn mạnh tính thống nhất của phương pháp giải các bài toán đó, nhưng không lưu ý tới mối quan hệ giữa chúng với vấn đề cầu phương. - Chính từ việc xác định đường cong khi biết tiếp tuyến của nó mà Barrow đã thiết lập được cầu nối giữa bài toán cầu phương và bài toán dựng tiếp tuyến.. - Quan hệ thuận nghịch giữa hai phép tính vi phân, tích phân thể hiện rất rõ qua các. - Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử