- 1.3.3 Năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron. - Chương 2 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất. - Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không . - Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron …..35. - Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng ………..39. - Bằng phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron tuy nhiên việc tính toán các bổ chính bậc cao gặp khó khăn. - Nền tảng chủ yếu của phương pháp này là dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f được xác định bởi tổng hay tích phân) theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha của biểu thức exp. - Bài toán Polaron đã được Feynman nghiên cứu đầu tiên /11/ bằng phương pháp biến phân, trong đó mức năng lượng của trạng thái cơ bản đã được đánh giá cho trường hợp liên kết yếu.. - Mục đích của bản luận văn là phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm. - năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong trường hợp liên kết yếu (1.3).. - Chương 3: Năng lƣợng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.. - Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1). - Sử dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng. - Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ bản được trình bày trong mục (3.3).. - Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiếm các trạng thái đơn electron trong mô hình vùng năng lượng. - Tương tác electron – Phonon thể hiện qua việc sinh (phát) hoặc huỷ (hấp thụ) Phonon với sự biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử sang trạng thái . - Đối với độ rộng dải lớn, hạt sẽ giam giữ chuyển động của nó để cho các trạng thái ở gần đáy của dải. - Năng lượng tự trao đổi Polaron theo lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh – Schrodiger bậc nhất là. - Các biểu thức tích phân theo vector sóng là rất khó tính toán đối với hầu hết các dạng của M q 2 , bởi vì các mẫu số năng lượng có các biểu thức bất thuận lợi. - là năng lượng tự trao đổi Polaron. - Trạng thái riêng và các mức năng lượng của H % cũng như của H. - Trong đó: i , f mô tả các trạng thái ban đầu và cuối cùng của phonon trong quá trình dịch chuyển. - X j cho phép các phonon được hình thành hoặc bị huỷ cho nên ở các trạng thái i , f có thể có số lượng phonon khác nhau.. - Trong đó H 0 : Hamiltonian tự do, nó bao gồm động năng của electron và năng lượng của các phonon, còn H int = U( r. - Trong biểu thức Hamiltonian tự do H 0 , số hạng thứ nhất trong công thức (1.17) tương ứng với động năng electron, số hạng thứ hai là năng lượng của các lượng tử của trường ngoài, trong mạng tinh thể chúng là các phonon.. - (1.27) Việc tìm năng lượng trong trường hợp liên kết yếu (g<<1) về nguyên tắc không khó khăn. - (d) ở đây ⃗ là thành phần cổ điển lớn nhất của các toán tử mà nó được xác định từ điều kiện tối thiểu của năng lượng. - Trong đó E ( n ) và (n ) là giá trị năng lượng và trạng thái riêng của hệ ở trạng thái n. - Khai triển năng lượng của hệ dưới dạng chuỗi luỹ thừa. - E 0 (n) bao gồm động năng của electron tự do và năng lượng của trường lượng tử phonon.. - Ta quan tâm tới việc xác định năng lượng nhiễu loạn E 0 nảy sinh khi tính đến tương tác với các dao động mạng, khi đó năng lượng nhiễu loạn theo /1/:. - là phần tử ma trận đối ứng của năng lượng nhiễu loạn bổ xung. - là các trạng thái riêng của H 0 . - E o (n) là trị riêng H 0 ứng với trạng thái | n. - Để đơn giản ta xét trạng thái | n không phonon, ký hiệu 0. - Khái quát lên, do U tương tác lên trạng thái sẽ làm thay đổi số phonon, nên số hạng chéo U nn 0 Như vậy, ta quan tâm đến năng lượng của electron chuyển động tự do với xung lượng ⃗ và năng lượng. - Bổ chính năng lượng trong gần đúng này. - Trạng thái đầu có | n electron với xung lượng P và không có phonon.. - Trong trạng thái trung gian có electron với xung lượng. - Vì thế cho nên , các năng lượng E O ( n ) và E O (m ) được mô tả bằng các biểu thức:. - ở đây xuất hiện số hạng “1” trong biểu thức để cho E n 0 là năng lượng phonon.. - Yếu tố ma trận này khác không chỉ khi trong trạng thái | m có một electron với xung lượng P r. - 1.3.3 Năng lƣợng trạng thái cơ bản và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.. - Năng lượng nhiễu loạn này tương ứng với electron đứng yên( bỏ qua sự giật lùi do tương tác).. - Kết hợp năng lượng nhiễu loạn cùng với động năng , thì đối với tổng năng lượng ta thu được. - Phương pháp tích phân phiếm hàm cho phép tìm biểu thức tổng quát của hàm Green, thuận tiện vượt khỏi khuôn mẫu của lý thuyết nhiễu loạn.. - Ta sẽ sử dụng Hamoltonian (1.11) để tìm biểu thức cho hàm Green của hệ. - Ta có biểu thức cho G. - ta viết biểu thức (2.8) dưới dạng G. - Do đó, ta có thể viết biểu thức cho hàm g tới dạng. - ta có biểu thức:. - nhờ tích phân phiếm hàm:. - biểu thức (2.15) trở thành:. - là c_số, ta có thể viết biểu thức cho g dưới dạng. - và thay biểu thức cho giao hoán tử (2.22), ta có:. - Cuối cùng, ta nhận được biểu thức cho hàm Green:. - Lưu ý, sau đây ta sẽ nghiên cứu các quá trình khi mà các trạng thái đầu và trạng thái cuối không có lượng tử tự do. - là mức năng lượng cơ bản khi cho trước xung lượng. - là trạng thái chân không của hệ chưa tính đến tương tác. - là tập hợp đủ các trạng thái của toán tử Hamiltonian H cùng với năng lượng E n. - Bằng cách tuyến tính hóa toán tử Laplace, ta đưa biểu thức cho hàm Green về dạng tích phân phiếm hàm một cách tổng quát. - Trong chương 3, ta sẽ sử dụng biểu diễn của hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất cho năng lượng.. - NĂNG LƢỢNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN VÀ CÁC BỔ CHÍNH BẬC NHẤT. - Trong chương trước, ta đã tìm biểu thức cho hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm mà sử dụng nó ta có thể tìm được các đại lượng vật lý cơ bản đặc trưng cho hệ. - Trong chương này, ta sẽ tính giá trị trung bình chân không của hàm Green trong gần đúng quỹ đạo thẳng, từ đó ta có biểu thức cho năng lượng. - Tính gần đúng tích phân và khai triển trong các trường hợp xung lượng lớn, xung lượng nhỏ, ta tìm được biểu thức cho năng lượng trạng thái cơ bản cho các trường hợp tới hạn khác nhau và khối lượng hiệu dụng của Polaron. - Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ bản được tính trong trường hợp liên kết yếu và liên kết mạnh vừa.. - Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không. - Trong chương 1, ta đã thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm (2.28):. - Chúng ta nghiên cứu các quá trình khi trạng thái đầu và trạng thái cuối không có các lượng tử t do. - Do đó, ta cần giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không:. - Biểu diễn dưới hàm Green dạng tích phân phiếm hàm cho phép ta thu được biểu thức cho hàm Green một cách tổng quát. - 0 trong biểu thức tích phân phiếm hàm (3.3).. - Như vậy, phép xấp xỉ này đưa đến biểu thức dưới đây cho phổ năng lượng của hệ. - Để tính giá trị trung bình chân không cho hàm green theo biểu thức (2.1.3), ta áp dụng gần đúng eikonal. - Khi đó, áp dụng gần đúng eikonal (3.8) và kết quả (3.12), ta nhận được biểu thức cho giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không:. - Do đó, trong trường hợp này ta có biểu thức cho năng lượng:. - Năng lƣơng trạng thái cơ bản và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron. - Sử dụng các kết quả vừa tính toán, trong phần này ta sẽ tìm năng lượng của mức cơ bản. - Ta có biểu thức cho phổ năng lượng trong phép gần đúng B theo công thức (3.15):. - Đối với trạng thái cơ bản, n k = 0 nên biểu thức cho năng lượng là:. - Biểu thức cho năng lượng trạng thái cơ bản của hệ trở thành:. - Trong khai triển để cho đại lượng E 0 theo lũy thừa thông số nhỏ 2 , ta giữ lại hai số hạng đầu, tìm các giá trị năng lượng nghỉ và khối lượng hiệu dụng của trạng thái của hệ. - Năng lượng trạng thái cơ ản trong trường hợp x ng lượng nhỏ:. - Trong trường hợp ngược lại các x ng lượng lớn Biểu thức để cho năng lượng của hệ có dạng. - Từ các công thức(3.21) và (3.24), với >>1 trạng thái của hệ có độ rộng khác không,có nghĩa là có thời gian sống hữu hạn, thêm vào đó tỷ lệ một nửa độ rộng trạng thái và năng lượng với giá trị lớn của xung lượng có độ lớn bậc:. - Để đánh giá độ chính xác các phép gần đúng đã đựợc dẫn ra, chúng ta xét gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng của hệ, do các hiệu ứng tương thích lẫn nhau theo tương tác của hạt với trường lượng tử.. - Sử dụng biểu thức (2.17), tích phân theo v. - Thành phần được tách ra cho đóng góp vào năng lượng trạng thái cơ bản của hệ. - Từ đây ta thu được biểu thức cho các số hạng bổ chính của năng lượng trạng thái cơ bản:. - Trường hợp đầu tiên mô tả trạng thái phân cực, mà nó tương ứng với liên kết yếu , còn trường hợp thứ hai tương ứng với “liên kết mạnh vừa”.. - Nghiên cứu các phép gần đúng bậc cao cho năng lượng trang thái cơ bản đã chỉ ra một tham số khai triển mới a. - Năng lượng trạng thái cơ bản và các số hạng bổ chính bật nhất trong mô hình Polaron đã được trong gần đúng quỹ đạo thẳng. - Như vậy ta đã tìm được biểu thức cho năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất, khối lượng hiệu dụng của Polaron. - Phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra hữu hiệu cho phép ta tìm biểu thức năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính.. - Tìm được số hạng nhiễu loạn bậc nhất, số hạng nhiễu loạn bậc hai, mức năng lượng trạng thái cơ bản, khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng lý thuyết nhiễu loạn thông thường.. - Bằng việc tuyến tính hóa toán tử Laplace, thu được biểu thức tổng quát cho hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm. - Thu được biểu thức năng lượng trạng thái cơ bản và bổ chính bậc nhất của nó bằng phương pháp tích phân phiếm hàm. - Đã minh chứng rằng so với lý thuyết nhiễu loạn thông thường, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra hữu hiệu cho phép tìm biểu thức năng lượng trạng thái cơ bản tổng quát hơn gồm số hạng chính và các số hạng bổ chính.. - Nguyễn Như Xuân (2008), Một số vấn đề tái chuẩn hóa, tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử và phương pháp tích phân phiếm hàm, Luận văn thạc sỹ toán lý ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội