- MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI. - Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp. - Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy. - Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng. - Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó. - Nhiều bất đẳng thức đã trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường ít được quan tâm. - Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này. - Vì vậy, tác giả đã lựa chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli". - với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiện nay.. - Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức Bernoulli. - Bất đẳng thức Bernoulli. - Trong chương này tác giả trình bày về bất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli.. - Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli. - Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể. - Bất đẳng thức Bernoulli 4. - Một số ví dụ 6. - Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa trên bất đẳng thức. - Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2. - Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 40 2.3. - Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2. - Một số bài toán trong tam giác 52. - Một số bài toán trong lượng giác 59. - Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61. - Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức. - Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển 64. - Một số bài toán khác 70. - Bất đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh danh ông. - Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x), được phát biểu như sau.. - Nếu α là một số thực thỏa mãn. - (1.1) Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc. - Nếu α là một số thực thỏa mãn 0. - Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc. - 1 thì (1.1) trở thành đẳng thức.. - Nếu là một số thực thỏa mãn. - (1.2) Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc. - Nếu là một số thực thỏa mãn 0. - Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc. - Từ bất đẳng thức trong Định lí 1.1, ta chỉ cần đặt a 1 x. - (1.3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. - Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x x 0 , với x 0 là một số dương cho trước, ta chỉ cần thay bởi bất đẳng thức trong định lý sau đây.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x x . - Một số ví dụ. - Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. - Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có. - 7 Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được. - Bất đẳng thức được chứng minh.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. - Chứng minh bất đẳng thức. - Ta đã biết bất đẳng thức Nesbitt sau. - Ta đánh giá số mũ 3 thông qua số mũ 1 trong bất đẳng thức (1.2). - Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có. - Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế và áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta được bất đẳng thức cần chứng minh.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. - 1 Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.. - 2 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam.. - 4 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí và áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục.. - 5 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.. - 6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các bài giảng về bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.