- Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-. - Trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị cho không gian Banach. - Thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên, không chỉ thiết lập luật mạch số lớn mà còn đưa ra tốc độ hội tụ của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Đưa ra các định lý hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số lớn gồm các luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên: trình bày khái niệm khả tích đều, trình bày các kết quả về định lý hội tụ trung bình, trình bày kết quả về luật yếu số lớn.. - Biến ngẫu nhiên. - Xác suất. - Luật số lớn. - Không gian Banach. - Lý thuyết xác suất.. - Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất. - Ngày nay, luật số lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất.. - Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. - Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi. - Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó khăn nên các định lí giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu nhiều.. - Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn.. - Mục đích nghiên cứu. - Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kol- mogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p , luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều.. - Đối tượng nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Phạm vi nghiên cứu. - Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Phương pháp nghiên cứu. - Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của giải tích và xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh các định lí hội tụ. - Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất.. - Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê. - Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố năm 1713. - Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E. - Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {X n } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {b n } là dãy các hằng số sao cho 0 <. - Sau khi Day [10] đưa ra khái niệm không gian Banach p -khả trơn, đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn như: Woyczy´ nski, Hoffmann- J ø rgensen, Pisier. - Assouad [2] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach thực khả ly là không gian p -khả trơn dựa trên dãy biến ngẫu nhiên martingale. - Hoffmann-J ø rgensen và Pisier [22] đã đưa ra được tính chất đặc trưng của không gian p -khả trơn về luật số lớn Kolmogorov.. - Trong những năm gần đây nhiều tác giả vẫn tiếp tục nghiên cứu các định lí giới hạn trên không gian p -khả trơn như: Nguyễn Văn Quảng Volodin, A. - Việc nghiên cứu các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cũng là một hướng để thu được luật yếu số lớn. - Các tác giả thu được nhiều kết quả về hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên trong những năm gần đây phải kể đến là Adler, A. - Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p -khả trơn.. - Mặc dù vậy, cũng đã có một số tác giả xây dựng khái niệm martingale đối với mảng nhiều chiều. - Trong luận án này thay vì xây dựng khái niệm martingale cho mảng 2 chiều, chúng tôi đã xây dựng mảng σ -đại số ngay trên mảng biến ngẫu nhiên đã cho để sao cho vẫn thu được bất đẳng thức cực đại đối với mảng nhiều chiều tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều. - Vì đây là bất đẳng thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn. - 2 ) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng 2 chiều nên trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều.. - Chương 1 trình bày các khái niệm về kì vọng, kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Chương 2 thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên. - Cũng trong Chương 2 chúng tôi không chỉ thiết lập luật mạnh số lớn mà còn đưa ra được tốc độ hội tụ của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.. - Chương 3 đưa ra các định lí hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên. - Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày các kết quả về định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 và 3.4 trình bày các kết quả về luật yếu số lớn.. - A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 32, pp.167- 174.. - Limit theorems for randomly weighted sums of random elements in normed linear spaces", Journal of Multivariate Analysis 25 (1), pp.139-145.. - Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Col- lectanea Mathematica 45 (2), pp.121-132.. - Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers", Sankhyã Ser. - A 51 (3), pp.309-317.. - 22 (2), pp.79-82.. - "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise inde- pendent random fields", Probability and mathematical statistics 22 (1), pp.127-139.. - 45, pp.375 -385.. - Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathe- matics 30 (4), pp.337-34.. - [12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces". - Statistics and Probability letters pp.756-763.. - [13] Le Van Dung Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398.. - [14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math. - Korean 47, pp.467 - 482.. - An elementary proof of the strong law of large numbers", Z. - Gebiete 55 (1), pp.119-122.. - Strong laws of large numbers for pair- wise independent random variables with multidimensional indices", Publ. - Debrecen 53 (1-2), pp.149-161.. - Hungar 37, pp.401-418.. - 86 (2), pp.398-422.. - An asymmetric Marcinkiewicz- Zygmund LLN for random fields", Statistics and Probability Letters 79, pp.1016-1020.. - The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599.. - A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264.. - On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Proba- bility Letters 46, pp.177-185.. - Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random vari- ables", Int. - 22 (1), pp.171-177.. - Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36 (6), pp . - Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables", Math. - 130, pp.189-192.. - On the modulus of smoothness and diver- gent series in Banach spaces", Michigan Math. - 10, pp.241-252.. - 20 (3-4), pp.326-350.. - 1206, pp.167-241.. - [33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc. - 43 (3), pp.551-558.. - [34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables", J.Korean.Soc. - 45 (3), pp.795-805.. - [35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull. - 43 (1), pp.213-223.. - [36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien Al- most sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800.. - [37] Rosalsky, A., Le Van Thanh Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rader-. - macher type p Banach spaces", Stoch. - 11, pp.347-374.. - On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028.. - Almost Sure Convergence of the Gen- eral Jamison Weighted Sum of B -Valued Random Variables", Acta Mathematica Sinica English Series 20 (1), pp.181-192.. - Weak law of large numbers for arrays of random variables", Statist. - 42 (3), pp.293-298.. - On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in mar- tingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc. - 43 (3), pp.543-549.. - Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934.. - of large numbers for double arrays of random variables", Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, pp.1-15.. - Appl 24, pp.797-808.. - [47] Nguyen Duy Tien, Le Van Dung Convergence of double ran- dom series of random elements in Banach spaces", Journal of the Ko- rean Mathematical Society 49, pp.1053-1064.. - Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis 8 (2), pp.282-294.. - (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II